Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a tâm O. SA vuông góc với mặt phẳng ABCD. Gọi M,N lần lượt là hình chiếu của A lên SB và SD. a) C/m MN // BD và SC vuông góc ( AMN ) b) Gọi K là giao điểm của SC với mặt phẳng (AMN ). Chứng minh tứ giác AMKN có hai đường chéo vuông góc với nhau.

Giải thích các bước giải:

a. Ta có: $SA\perp (ABCD)\to SA\perp AD, SA\perp AB$

$\to\widehat{SAB}=\widehat{SAD}=90^o$

Mà $AD=AB\to \Delta SAD=\Delta SAB(c.g.c)$

Lại có $M$ là hình chiếu của $A$ lên $SB$ nên $AM\perp SB$,

$N$ là hình chiếu của $A$ lên $SD$ nên $AN\perp SD$

$\to AM=AN\to SM=SN$

$\to\dfrac{SN}{SD}=\dfrac{SM}{SB}\to MN//BD$ (Ta-let)

Vì $ABCD$ là hình vuông $\to AC\perp BD\to AC\perp MN$

Ta có: $SA\perp (ABCD)\to SA\perp CD$,

Mà $ABCD$ là hình vuông nên $CD\perp AD$,

$SA,AD\subset(SAD)\Rightarrow  CD\perp (SAD),AN\subset(SAD)\to CD\perp AN$

Mà $AN\bot SD\Rightarrow AN\bot(SCD)\to AN\perp SC$ (1)

Tương tự: $SA\bot CB, CB\bot AB\Rightarrow CB\perp (SAB)$

$AM\subset(SAB)\to CB\perp AM$

Mà $ AM\perp SB, AM\perp (SBC)\to AM\perp SC$ (2)

Từ (1) và (2) $\to SC\perp (AMN)$

b. Gọi $SO\cap MN=E, AE\cap SC=K\to SC\cap (AMN)=K$ 

Ta có $SA\perp (ABCD)\to SA\perp BD$

Mà $BD\perp AC$

$\to BD\perp (SAC)\to BD\perp AK\to MN\perp AK(MN//BD)$

$\to AMKN$ có 2 đường chéo vuông góc