Tam giác ABC vuông tại A, trung tuyến AM. Gọi D là trung điểm của AB, E là điểm đối xứng với M qua D. a) Chứng minh rằng điểm E đối xứng với điểm M qua AB b) Các tứ giác AEMC, AEBM là hình gì? Vì sao? c) Tam giác ABC có thêm điều kiện gì thì AEBM là hình vuông?

Giải thích các bước giải:

 a) Xét `ΔABC` có:

`M` là trung điểm `BC` (`AM` là trung tuyến)

`D` là trung điểm `AB`

`=> DM` là đường trung bình

`=>` $DM//AC$

Mà `AC⊥AB` (`ΔABC` vuông tại `A`)

`=> DM⊥AB`

Lại có `DM=DE => E` là điểm đối xứng với `M` qua `AB`. 

b) `DM` là đường trung bình `=> DM = {AC}/2`

Mà `DM = {EM}/2` (`D` là trung điểm `DM`) `=> AC=EM`

Xét tứ giác `AEMC` có:

$EM//AC$ `(E∈DM)`

`EM=AC`

`=> AEMC` là hình bình hành

Xét tứ giác `AEBM` có:

`D` là giao điểm của `AB` và `EM`

`D` là trung điểm `EM`

`D` là trung điểm `AB`

`=> AEBM` là hình bình hành

mà `AB⊥EM => AEBM` là hình thoi.

c) Để `AEBM` là hình vuông

`=> \hat{AMB} = 90^0` `=> AM⊥BC`

`ΔABC` có `AM` vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến

`=> ΔABC` vuông cân tại `A`

Vậy để `AEBM` là hình vuông thì `ΔABC` vuông cân tại `A`.