Giải bài này giúp mình với Cảm ơn

Đáp án: $N=\dfrac{\sqrt{2017}}{\sqrt{2}}+\dfrac{\sqrt{2018}}{\sqrt{2}}-\dfrac{1}{\sqrt{2}}$

Giải thích các bước giải:

Có: $\left( n+\sqrt{{{n}^{2}}-1} \right)\left( n-\sqrt{{{n}^{2}}-1} \right)=1$

$\Leftrightarrow \dfrac{1}{n+\sqrt{{{n}^{2}}-1}}=n-\sqrt{{{n}^{2}}-1}$

$\Leftrightarrow \dfrac{1}{\sqrt{n+\sqrt{{{n}^{2}}-1}}}=\sqrt{n-\sqrt{{{n}^{2}}-1}}$

$\Leftrightarrow \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{n+\sqrt{{{n}^{2}}-1}}}=\sqrt{2n-2\sqrt{{{n}^{2}}-1}}$

$\Leftrightarrow \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{n+\sqrt{{{n}^{2}}-1}}}=\sqrt{\left( n+1 \right)-2\sqrt{\left( n+1 \right)\left( n-1 \right)}+\left( n-1 \right)}$

$\Leftrightarrow \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{n+\sqrt{{{n}^{2}}-1}}}=\sqrt{{{\left( \sqrt{n+1}-\sqrt{n-1} \right)}^{2}}}$

$\Leftrightarrow \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{n+\sqrt{{{n}^{2}}-1}}}=\left| \sqrt{n+1}-\sqrt{n-1} \right|$

$\Leftrightarrow \dfrac{1}{\sqrt{n+\sqrt{{{n}^{2}}-1}}}=\dfrac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n-1}}{\sqrt{2}}$

……………………………………….

Sửa đề chút: Có lẽ là $\sqrt{2+\sqrt{3}}$ chứ không phải $\sqrt{2}+\sqrt{3}$

Áp dụng công thức trên, ta được:

$N=1+\dfrac{1}{\sqrt{2+\sqrt{{{2}^{2}}-1}}}+\dfrac{1}{\sqrt{3+\sqrt{{{3}^{2}}-1}}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{2017+\sqrt{{{2017}^{2}}-1}}}$

$N=1+\dfrac{\sqrt{2+1}-\sqrt{2-1}}{\sqrt{2}}+\dfrac{\sqrt{3+1}-\sqrt{3-1}}{\sqrt{2}}+...+\dfrac{\sqrt{2017+1}-\sqrt{2017-1}}{\sqrt{2}}$

$N=1+\dfrac{\sqrt{3}-\sqrt{1}}{\sqrt{2}}+\dfrac{\sqrt{4}-\sqrt{2}}{\sqrt{2}}+...+\dfrac{\sqrt{2018}-\sqrt{2016}}{\sqrt{2}}$

$N=1+\left( \dfrac{\sqrt{3}+\sqrt{4}+...+\sqrt{2018}}{\sqrt{2}} \right)-\left( \dfrac{\sqrt{1}+\sqrt{2}+...+\sqrt{2016}}{\sqrt{2}} \right)$

$N=1+\dfrac{\sqrt{2017}}{\sqrt{2}}+\dfrac{\sqrt{2018}}{\sqrt{2}}-\dfrac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}-\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

$N=\dfrac{\sqrt{2017}}{\sqrt{2}}+\dfrac{\sqrt{2018}}{\sqrt{2}}-\dfrac{1}{\sqrt{2}}$