Cho đường tròn (O) đường kính AD.Gọi H là điểm nằm giữa O và D.Kẻ dây BC vuông gốc với AD tại H.Trên cung nhỏ AC lấy điểm M,kẻ CK vuông góc với AM tại K.Đường thẳng BM cắt CK tại N a,Chứng minh 4 điểm A,H,C,K thuộc một đường tròn b,CM AH.AD=AB^2 c,CM tam giác ACN cân tại A d,Tìm vụ trí của điểm M để diện tích tam giác ABN lớn nhất

Giải thích các bước giải:

a.Ta có $AK\perp CK, AH\perp CH$

$\to \widehat{AKC}+\widehat{AHC}=90^o+90^o=180^o$

$\to A,H,C,K$ thuộc đường tròn đường kính AC

b. Vì $AD$ là đường kính của (O)
$\to AB\perp BD$

Mà $BH\perp AD\to AB^2=AH.AD$

c. Vì $BC\perp AD\to B,C$ đối xứng qua AD
$\to\widehat{ABC}=\widehat{ACB}$

Mà $AMCB$ nội tiếp $(O)\to\widehat{KMC}=\widehat{ABC}$

$\to\widehat{NMK}=\widehat{AMB}=\widehat{ACB}=\widehat{ABC}=\widehat{KMC}$

Xét 2 tam giác vuông $\Delta MKN$ và $\Delta MKC$ có:

$KM$ chung

$\widehat{NMK}=\widehat{KMC}$ (cmt)

$\Rightarrow \Delta MKN=\Delta MKC$ (cạnh góc vuông-góc nhọn)

$\Rightarrow KN=KC\Rightarrow AK$ vừa là đường cao vừa là trung tuyến $\Delta ANC$

$\Rightarrow \Delta ANC$ cân đỉnh $A$.

d. Vì $\Delta ACN$ cân tại A $\to AN=AC$

Mà B,C đối xứng qua AD
$\to AC=AB\to AN=AB\to\Delta ABN$ cân đỉnh $A$

Lấy E là trung điểm BN$\to AE\perp BN$

$\to E$ là trung điểm BN

$\to S_{ABN}=\dfrac12AE.BN=\dfrac12AE.2BE=AE.BE\le\dfrac{AE^2+BE^2}{2}=\dfrac{AB^2}{2}$

Dấu = xảy ra khi $AE=BE\to\widehat{ABE}=45^o\to\widehat{ABM}=45^o$