Cho đường tròn (O; R) và điểm A cố định nằm ngoài đường tròn. Qua A kẻ hai tiếp tuyến AM, AN tới đường tròn (M, N là các tiếp điểm). Một đường thẩng (d), qua A cắt đường tròn (O; R) tại B và C (AB < AC). Gọi I là trung điểm của BC. Đường thẳng qua B, song song với AM cắt MN tại E. 1. Chứng minh 5 diểm A, M, O, I, N thuộc một đường tròn; 2. Chứng minh AB.AC = AM; 3. Chứng minh IE // MC; 4. Chứng minh rằng khi đường thẳng (d) quay quanh điểm A thì trọng tâm G của tam giác MBC thuộc một đường tròn cố định. Mn giúp mình câu d bài hình vs

1. Ta có: $\widehat{AMO}=90^o$ (do $AM$ là tiếp tuyến của (O))

$\Rightarrow M$ thuộc đường tròn đường kính $(AO)$ (1)

$\widehat{ANO}=90^o$ (do $AN$ là tiếp tuyến đường tròn $(O)$)

$\Rightarrow N$ thuộc đường tròn đường kính $(AO)$ (1)

Do $I$ là trung điểm của dây cung $BC$ nên $OI\bot CB\Rightarrow\widehat{OIA}=90^o$

$\Rightarrow I$ thuộc đường tròn đường kính $(AO)$ (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra $A, M, O, I, N$ thuộc đường tròn đường kính $(AO)$

2. Xét $\Delta AMB$ và $\Delta ACM$ có:

$\widehat{A}$ chung

$\widehat{AMB}=\widehat{ACM}$ (góc tạo bởi tiếp tuyến, dây cung và góc nội tiếp cùng chắn cung MB)

$\Rightarrow\Delta AMB\sim\Delta ACM$ (g.g)

$\Rightarrow\dfrac{AM}{AC}=\dfrac{AB}{AM}$

$\Rightarrow AM^2=AB.AC$

3. Ta có: $BE//AM$ $(\bot OM)$

$\Rightarrow\widehat{MAB}=\widehat{EBI}$ (hai góc ở vị trí đồng vị)

$\widehat{MAB}=\widehat{MNI}$ (do O, I, N, A, M nội tiếp câu 1, góc nội tiếp cùng chắn cung MI)

$\Rightarrow\widehat{EBI}=\widehat{MNI}$

$\Rightarrow B,N,I,E$ cùng thuộc một đường tròn

$\Rightarrow\widehat{EIB}=\widehat{ENB}$ (góc nội tiếp cùng chắn cung EB)

mà $\widehat{ENB}=\widehat{MCB}$ (góc nội tiếp cùng chắn cung MB)

$\Rightarrow \widehat{EIB}=\widehat{MCB}$ mà chúng ở vị trí đồng vị nên $IE//CM$

4. Ta gọi $H$ là trung điểm cạnh $OA$, $D$ là trọng tâm $\Delta OAM$

$\Rightarrow\dfrac{MD}{MH}=\dfrac{MG}{MI}=\dfrac{2}{3}$

$\Rightarrow GD//IH\Rightarrow \dfrac{GD}{IH}=\dfrac{2}{3}$

mà $\Delta OAI\bot I, H$ là trung điểm ứng với cạnh huyền nên $HI=\dfrac{OA}{2}$

$\Rightarrow GD=\dfrac{2}{3}.IH=\dfrac23.\dfrac12.OA=\dfrac{OA}{3}$

Mà $\Delta OAM$ cố định nên D cố định, $OA$ cố định

suy ra $G$ cố định, $G$ thuộc đường tròn tâm D, bánh kính $\dfrac{OA}3$.