Cho các số thực dương x,y,z thỏa mãn điều kiện $x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-z^2}+z\sqrt{1-x^2}=\frac{3}{2}$ tính $x^2+y^2+z^2$

Question

Cho các số thực dương x,y,z thỏa mãn điều kiện $x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-z^2}+z\sqrt{1-x^2}=\frac{3}{2}$  tính $x^2+y^2+z^2​​$

DemonKingofSalvation · Answer

Đáp án + Giải thích các bước giải:
Áp dụng $AM-GM$ ta có: $x\sqrt{1-y^2}\le\dfrac{1}{2}(x^2+1-y^2)$ 
Tương tự, $y\sqrt{1-z^2}\le\dfrac{1}{2}(y^2+1-z^2);z\sqrt{1-x^2}\le\dfrac{1}{2}(z^2+1-x^2)$
Khi đó ta có được:
$x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-z^2}+z\sqrt{1-x^2}\le\dfrac{1}{2}(x^2+1-y^2+y^2+1-z^2+z^2+1-x^2)=\dfrac{3}{2}$
Dấu "`=`" xảy ra khi $\begin{cases} x=\sqrt{1-y^2}\y=\sqrt{1-z^2}\z=\sqrt{1-x^2}\end{cases}$
$⇔\begin{cases}x^2+y^2=1\y^2+z^2=1\z^2+x^2=1\end{cases}$
`x^2+y^2+z^2=3/2`

trungnguyenlo06 · Answer

Giải thích các bước giải:
Áp dụng bất đẳng thức $Co-si$: 
$x\sqrt[]{1-y^2} \le \frac{x^2+1-y^2}{2}$ $(1)$
Chứng minh tương tự:
$y\sqrt[]{1-z^2} \le \frac{y^2+1-z^2}{2}$ $(2)$
$z\sqrt[]{1-x^2} \le \frac{z^2+1-x^2}{2}$ $(3)$
Cộng các vế trên lại với nhau: $(1)+(2)+(3)$:
$⇒VT \le \frac{x^2-y^2+1}{2}+\frac{y^2-z^2+1}{2}+\frac{z^2-x^2+1}{2}=\frac{3}{2}$
Chỉ xảy ra khi: $\left[\begin{matrix} x=\sqrt[]{1-y^2}\ y=\sqrt[]{1-z^2}\z=\sqrt[]{1-x^2} \end{matrix}ight.$
$⇔\left[\begin{matrix} x^2+y^2=1\ y^2+z^2=1\z^2+x^2=1\end{matrix}ight.$
Cộng 3 vế trên lại với nhau: 
$⇒2(x^2+y^2+z^2)=3$
$⇔x^2+y^2+z^2=\frac{3}{2}$

Hoidap247 - Hỏi Đáp Bài Tập

TRẢ LỜI

Bạn muốn hỏi điều gì?

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

Bạn muốn hỏi điều gì?

Tìm kiếm với hình ảnh

Hãy đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí!

Hoidap247 - Hỏi Đáp Bài Tập

Lưu vào

Cho các số thực dương x,y,z thỏa mãn điều kiện x√1−y2+y√1−z2+z√1−x2=32x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-z^2}+z\sqrt{1-x^2}=\frac{3}{2} tính x2+y2+z2​​x^2+y^2+z^2​​

TRẢ LỜI

Bạn muốn hỏi điều gì?

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

Bạn muốn hỏi điều gì?

Lý do báo cáo vi phạm?

Cho các số thực dương x,y,z thỏa mãn điều kiện $x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-z^2}+z\sqrt{1-x^2}=\frac{3}{2}$ tính $x^2+y^2+z^2$