Cho các số thực dương x,y,z thỏa mãn điều kiện $x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-z^2}+z\sqrt{1-x^2}=\frac{3}{2}$ tính $x^2+y^2+z^2​​$

Giải thích các bước giải:

Áp dụng bất đẳng thức $Co-si$: 

$x\sqrt[]{1-y^2} \le \frac{x^2+1-y^2}{2}$ $(1)$

Chứng minh tương tự:

$y\sqrt[]{1-z^2} \le \frac{y^2+1-z^2}{2}$ $(2)$

$z\sqrt[]{1-x^2} \le \frac{z^2+1-x^2}{2}$ $(3)$

Cộng các vế trên lại với nhau: $(1)+(2)+(3)$:

$⇒VT \le \frac{x^2-y^2+1}{2}+\frac{y^2-z^2+1}{2}+\frac{z^2-x^2+1}{2}=\frac{3}{2}$

Chỉ xảy ra khi: $\left[\begin{matrix} x=\sqrt[]{1-y^2}\\ y=\sqrt[]{1-z^2}\\z=\sqrt[]{1-x^2} \end{matrix}\right.$

$⇔\left[\begin{matrix} x^2+y^2=1\\ y^2+z^2=1\\z^2+x^2=1\end{matrix}\right.$

Cộng 3 vế trên lại với nhau: 

$⇒2(x^2+y^2+z^2)=3$

$⇔x^2+y^2+z^2=\frac{3}{2}$