Cho a<b<c. Chứng minh rằng (a-b)^3+(b-c)^3+(c-a)^3>0

Ta có $(a-b)+(b-c)+(c-a)=a+b+c-a-b-c=0$ nên áp dụng hằng đẳng thức thứ 9 $x^3+y^3+z^3=3xyz$ khi $x+y+z=0$ ta được:

${\left( {a - b} \right)^3} + {\left( {b - c} \right)^3} + {\left( {c - a} \right)^3} = 3\left( {a - b} \right)\left( {b - c} \right)\left( {c - a} \right)$

Vì $a<b<c$ nên ta có:

$\left\{ \begin{array}{l} a - b < 0\\ b - c < 0\\ c - a > 0 \end{array} \right. \Rightarrow 3\left( {a - b} \right)\left( {b - c} \right)\left( {c - a} \right) > 0$

Do $(-).(-)=(+)$. Từ đó suy ra được $(a-b)^3+(b-c)^3+(c-a)^3>0$