Cho tam giác ABC (AB < AC) có ba góc nhọn, đường cao AH (H thuộc BC). Từ H kẻ HE vuông góc với AB (E thuộc AB) và HF vuông góc với AC (F thuộc AC). Chứng minh: a) AEH đồng dạng với tam giác AHB b) AE.AB = AH2 và AE.AB = AF.AC c) AEF dđồng dạng với tam giác ABC d) MB.MC = ME.MF, trong đó M là giao điểm của EF và BC.

`a)`

Xét `ΔAEH` và `ΔAHB` có:

     `hat{AEH}=hat{AHB}=90^o`

         `hat{A}:chung`

`⇒ΔAEH`$\backsim$`ΔAHB(g.g)(đpcm)`

`b)`

Theo câu `a)ΔAEH`$\backsim$`ΔAHB(g.g)`

`⇒(AE)/(AH)=(AH)/(AB)`

`⇒AE.AB=AH²(đpcm)(1)`

Xét `ΔAFH` và `ΔAHC` có:

     `hat{AFH}=hat{AHC}=90^o`

          `hat{A}:chung`

`⇒ΔAFH`$\backsim$`ΔAHC(g.g)`

`⇒(AF)/(AH)=(AH)/(AC)`

`⇒AF.AC=AH²(2)` 

Từ `(1)` và `(2)⇒AE.AB=AF.AC(đpcm)`

`c)`

Theo câu `b)` ta có:`AE.AB=AF.AC`

                           `⇒(AE)/(AC)=(AF)/(AB)`

Xét `ΔAEF` và `ΔACB` có:

      `(AE)/(AC)=(AF)/(AB)(cmt)`

           `hat{A}:chung`

`⇒ΔAEF`$\backsim$`ΔACB(c.g.c)(đpcm)`

`d)`

Theo câu `c)ΔAEF`$\backsim$`ΔACB(c.g.c)`

`⇒hat{E_1}=hat{C}(2` góc tương ứng `)`

Mà `hat{E_1}=hat{E_2}(2` góc đối đỉnh `)`

`⇒hat{E_2}=hat{C}`

Xét `ΔMEB` và `ΔMCF` có:

         `hat{M}:chung`

       `hat{E_2}=hat{C}(cmt)`

`⇒ΔMEB`$\backsim$`ΔMCF(g.g)`

`⇒(MB)/(MF)=(ME)/(MC)`

`⇒MB.MC=ME.MF(đpcm)`