Cho bình thông nhau có hai nhánh A và B là hình trụ, tiết diện lần lượt là S1=100cm^2; S2=200cm^2. Hai miệng nằm trên cùng một mặt phẳng nằm ngang. Lúc đầu chứa nước có độ cao đủ lớn , mặt thoáng cách miệng mỗi nhánh là h=20cm, người ta đổ từ từ dầu vào nhánh B cho tới lúc đầy. Cho khối lượng riêng cảu nước và dầu lần lượt là D1=1000kg/m^3 và D2=750kg/m^3 a, Tính khối lượng dầu đã đổ vài nhánh B b, Sau khi đổ đầy dầu vào nhánh B, người ta thả nhẹ nhàng một vật hình trụ đặc, đồng chất, tiết diện S3=60m^3, cai h3=10cm, khối lượng riêng D3=600kg/m^3 vào nhánh A. Hãy tính khối lượng dầu tràn ra

Đáp án:

a. m = 4kg

b. Δm = 0,24kg 

Giải thích các bước giải:

a. Gọi x là độ dâng mực nước ở nhánh A, y là độ hạ xuống của mực nước nhánh B khi dầu đầy. 

Ta có: $x{S_1} = y{S_2} \Leftrightarrow x = 2y\left( 1 \right)$
Gọi M, N là hai điểm nằm trên cùng một đường ngang.

Ta có:

${p_M} = {p_N} \Leftrightarrow \left( {x + y} \right){d_1} = \left( {h + y} \right){d_2} \Rightarrow x + y = 0,75\left( {h + y} \right)\left( 2 \right)$

Từ (1) và (2) ta có:  $y = \dfrac{{20}}{3}cm$

Khối lượng dầu đã đổ vào nhánh B là:

$\begin{array}{l}
V = {S_2}\left( {h + y} \right) = \dfrac{{16}}{3}{.10^{ - 3}}{m^3}\\
m = V.{D_2} = 4kg
\end{array}$

b. Khi khối trụ cân bằng nước dâng lên ở các nhánh A, B lần lượt là a, b

Ta có:

$\left\{ \begin{array}{l}
0 \le a \le h - x = \dfrac{{20}}{3}cm\\
0 \le b \le h + y = \dfrac{{80}}{3}cm
\end{array} \right.$

Ta cũng có:
$\begin{array}{l}
{V_1}{d_1} = {V_3}{d_3} \Rightarrow {V_1} = 360c{m^3}\\
{V_1} = a.{S_1} + b{S_2} \Rightarrow a + 2b = 3,6\left( 3 \right)
\end{array}$

Gọi C và D là hai điểm cùng nằm ngang sau khi thả khối trụ:

${p_C} = {p_D} \Rightarrow \left( {x + y - b + a} \right){d_1} = \left( {h + y - b} \right){d_2}$

Theo câu a ta có:

$\left( {x + y} \right){d_1} = \left( {h + y} \right){d_2} \Rightarrow a = b\dfrac{{{d_1} - {d_2}}}{{{d_2}}} \Rightarrow b = 4a\left( 4 \right)$

Từ (3), (4) suy ra a = 0,4cm, b = 1,6cm thõa mãn điều kiện trên.

Vậy khối lượng dầu tràn ra là:

$\Delta V = b.{S_2} = {0,32.10^{ - 3}}{m^3} \Rightarrow \Delta m = \Delta V.{D_2} = 0,24kg$