Cho tam giác ABC nhọn (AB<AC). Kẻ hai đường cao BM, CN cắt nhau tại H. a) Chứng minh: Tam giác ABM đồng dạng tam giác CAN b) Cm tam giác AMN đồng dạng với tam giác BEH c) BH.BM + CH.CN = BC mũ 2 d)Giả sử góc BAC bằng 60 độ acm diện tích tam giác AMN = 1 phần tư diện tích tam giác ABC

Giải thích các bước giải:

a) `ΔABC` có đường cao `BM, CN`

`=> BM⊥AC; CN⊥AB`

Xét `ΔABM` và `ΔACN` có: 

` \hat{AMB}=\hat{CNA}=90^0 (BM⊥AC; CN⊥AB)`

`\hat{BAM}=\hat{CAN}`

`=>` $ΔABM\backsimΔACN$ (g.g)

b) Sửa đề: `ΔAMN` đồng dạng với `ΔABC`

$ΔABM\backsimΔACN$ `=> \frac{AM}{AN}=\frac{AB}{AC} => \frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}`

Xét `ΔAMN` và `ΔABC` có:

`\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}`

`\hat{MAN}=\hat{BAC}`

`=>` $ΔAMN\backsimΔABC$ (c.g.c) 

c) Gọi `K` là giao điểm của `AH` với `BC`

`ΔABC` có: hai đường cao `BM` và `CN` cắt nhau tại  `H`

`=> H` là trực tâm `ΔABC => AK⊥BC`

Xét `ΔBHK` và `ΔBCM` có:

`\hat{BKH}=\hat{BMC}=90^0 (AK⊥BC; BM⊥AC)`

`\hat{KBH}=\hat{MBC}`

`=>` $ΔBHK\backsimΔBCM$ (g.g)

`=> \frac{BH}{BC}=\frac{BK}{BM} => BH.BM=BC.BK`  (1)

Xét `ΔCHK` và `ΔCBN` có:

`\hat{CKH}=\hat{CNB}=90^0 (AK⊥BC; CN⊥AB)`

`\hat{HCK}=\hat{BCN}`

`=>` $ΔCHK\backsimΔCBN$ (g.g)

`=> \frac{CH}{BC}=\frac{CK}{CN} => CH.CN=BC.CN`  (2) 

Từ (1) (2) `=> BH.BM+CH.CN=BC.BK+BC.CN=BC(BK+CN)=BC.BC=BC^2`

d) `\hat{BAC}=60^0 => \hat{BAM}=60^0`

`ΔABM` vuông tại `A` có `\hat{BAM}=60^0`

`=> AB=2AM => \frac{AM}{AB}=1/2`

$ΔAMN\backsimΔABC$ theo tỷ số đồng dạng là `\frac{AM}{AB}=1/2`

`=> \frac{S_{AMN}}{S_{ABC}}=(1/2)^2=1/4`

`=> S_{AMN}=1/4 S_{ABC}`