Một con lắc đơn có chiều dài l =60cm. Vật nặng 100g, người ta kéo cho vật đến vị trí dây treo hợp với phương thẳng đứng một góc ( = 60 độ rồi thả nhẹ a. Tính vận tốc khi vật đi qua vị trí - ( =30 độ - ( = 45 độ b. Tính lực căng dây trong các trường hợp trên c. Chứng minh rằng vận tốc và lực căng dây đạt giá trị cực đại khi vật qua vị trí cân bằng. Tính các giá trị cực đại đó

Đáp án:

$\begin{align}
  & a)v=2,1m/s;v=1,58m/s \\ 
 & b)T=1,6N;T=1,12N \\ 
 & c){{v}_{max}}=\sqrt{6}m/s \\ 
 & {{T}_{max}}=2N \\ 
\end{align}$

Giải thích các bước giải:

 $l=60cm;m=0,1kg;{{\alpha }_{0}}={{60}^{0}}$

a) vận tốc : 

Bảo toàn cơ năng tại vị trí cao nhất và vị trí bất kì:

$\begin{align}
  & a)\text{W}={{\text{W}}_{d}}+{{\text{W}}_{t}} \\ 
 & \Leftrightarrow m.g.(l-l.cos{{\alpha }_{0}})=\frac{1}{2}.m.{{v}^{2}}+m.g.(l-l.cos\alpha ) \\ 
 & \Leftrightarrow {{v}^{2}}=2.m.g.l.(cos\alpha -cos{{\alpha }_{0}}) \\ 
 & \Rightarrow v=\sqrt{2.m.g.l.(cos\alpha -cos{{\alpha }_{0}})} \\ 
\end{align}$

ta có: 

$\begin{align}
  & \alpha ={{30}^{0}} \\ 
 & \Rightarrow v=\sqrt{2.10.0,6.(cos30-cos60)}=2,1m/s \\ 
 & \alpha ={{45}^{0}} \\ 
 & \Rightarrow v=\sqrt{2.10.0,6.(cos45-cos60)}=1,58m/s \\ 
\end{align}$

b) Lực căng dây:

ta có:

$\begin{align}
  & \Leftrightarrow \overrightarrow{P}+\overrightarrow{T}=m.\overrightarrow{a} \\ 
 & \Rightarrow T-P.cos\alpha =m.{{a}_{ht}} \\ 
\end{align}$

mà: ${{a}_{ht}}=\frac{{{v}^{2}}}{l}$

thay vào ta được: 

$\begin{align}
  & T=m.g.cos\alpha +\frac{2m.g.l.(cos\alpha -cos{{\alpha }_{0}})}{l} \\ 
 & =m.g.(3cos\alpha -2cos{{\alpha }_{0}}) \\ 
\end{align}$

$\begin{align}
  & \alpha ={{30}^{0}} \\ 
 & \Rightarrow T=0,1.10.(3cos30-2cos60)=1,6N \\ 
 & \alpha ={{45}^{0}} \\ 
 & \Rightarrow T=0,1.10.(3cos45-2cos60)=1,12N \\ 
\end{align}$

c) tại vị trí cân bằng: 

$\begin{align}
  & {{v}_{max}}=\sqrt{2.g.l.(1-cos{{\alpha }_{0}})}=\sqrt{2.10.0,6.(1-cos60)}=\sqrt{6}m/s \\ 
 & {{T}_{max}}=m.g.(3-2cos{{\alpha }_{0}})=0,1.10.(3-2.cos60)=2N \\ 
\end{align}$