Cho đường tròn (O) và một điểm M nằm ngoài đường tròn. Từ M kẻ hai tiếp tuyến MA, MB với đường tròn (O) (A và B là hai tiếp điểm). Gọi I là giao điểm của OM và AB. Kẻ đường kính BC của (O). a/ Chứng minh bốn điểm M, A, O, B cùng thuộc một đường tròn. b/ Chứng minh: OI.OM = OA^2. c/ Qua O vẽ đường thẳng vuông góc với MC tại E và cắt đường thẳng BA tại F. Chứng minh: FC là tiếp tuyến của đường tròn (O) Mk cần gấp chiều thi r ạ

a. Vì MA,MB là tiếp tuyến của (O)

$\rightarrow \widehat{MAO}=\widehat{MBO}=90^o$

$\Rightarrow A$ thuộc đường tròn đường kính $(MO)$

$B$ thuộc đường tròn đường kính $(MO)$

$\rightarrow M,A,O,B$ thuộc đường tròn đường kính $(OM)$.

b. Vì $MA, MB$ là tiếp tuyến của (O) nên $MA=MB\Rightarrow\Delta MAB$ cân đỉnh M

và $MO$ là tia phân giác của $\widehat{AMB}$ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

$\Rightarrow MO$ cũng là đường cao của $\Delta MAB$

$\rightarrow MO\perp AB=I$

Áp dụng hệ thức lượng vào $\Delta AOM\bot A, AI\bot OM$

$\rightarrow OA^2=OI.OM$

c. Vì $OF\perp CM=E$

$\rightarrow \widehat{FEC}=90^o$ nên E thuộc đường tròn đường kính $(FC)$

$\widehat{FAC}=\widehat{CAB}=90^o$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

nên $A$ thuộc đường tròn đường kính $(FC)$

$\Rightarrow \Diamond AFCE$ nội tiếp đường tròn đường kính $(FC)$

$\Rightarrow\widehat{FCA}=\widehat{FEA}$ (góc nội tiếp cùng chắn cung AF) (1)

Ta có: $\widehat{MEO}=90^o$ (do giả thiết) nên $E$ thuộc đường tròn đường kính (MO)

$\rightarrow M,A,E,O,B$ cùng thuộc một đường tròn đường kính (MO)

$\rightarrow \widehat{FEA}=\widehat{ABO}$ (cùng bù với $\widehat{AEO}$) (2)

Từ (1) và (2) $\rightarrow \widehat{FCA}=\widehat{ABO}$ cùng chắn cung AC

$\rightarrow FC$ là tiếp tuyến của (O)