Cho pt: `x^2-2mx+2m-1=0` a, Tìm `m` để pt có 2 nghiệm phân biệt b, Tìm `m` để `A=\frac{2x_1x_2+3}{x_1^2+x_2^2+2(1+x_1+x_2)}` có GTLN `A_{max}`. Tìm `A_{max}`

`x^2 - 2mx + 2m-1=0 (1)`

`a)`

Phương trình `(1)` có :

`\Delta' = (-m)^2 - 1 . (2m-1) = m^2 - 2m + 1 = (m-1)^2`

Phương trình `(1)` có hai nghiệm phân biệt

`<=> \Delta' > 0`

`<=> (m-1)^2 > 0`

`<=>m-1\ne0`

`<=>m\ne1`

Vậy phương trình `(1)` có hai nghiệm phân biệt `<=>m\ne1`

`b)`

Theo hệ thức Vi-ét ta có : `{(x_1+x_2=2m),(x_1.x_2=2m-1):}`

Ta có :

`A = (2x_1x_2+3)/(x_1^2+x_2^2 + 2 (1+x_1+x_2))`

` = (2 x_1 x_2 + 3)/( (x_1+x_2)^2 - 2x_1x_2 + 2(1+x_1+x_2))`

`=> A = (2 . (2m-1) + 3)/( (2m)^2 - 2 . (2m-1) + 2 . (1 + 2m))`

`=  (4m - 2 + 3)/(4m^2 - 4m + 2 + 2 + 4m)`

`=  (4m + 1)/(4m^2 + 4)`

`=> A (4m^2 + 4) = 4m  +1`

`<=> A . 4m^2 + A . 4 - 4m - 1 = 0`

`<=> m^2  . 4A - 4m + (4A - 1) = 0 (2)`

Phương trình `(2)` có : `\Delta' = (-2)^2 - 4A . (4A - 1) = 4 - 16A^2 + 4A`

Phương trình `(2)` có nghiệm `<=> Delta' \ge 0`

`<=> 4 - 16A^2 + 4A \ge 0`

`<=>(1-  \sqrt{17})/8 \le A \le (1+  \sqrt{17})/8`

`A = (1+\sqrt{17})/8 <=> (4m + 1)/(4m^2 + 4) = (1+\sqrt{17})/8`

`<=>m  = (\sqrt{17}-1)/4` (thỏa mãn)

Vậy `\text{Max}_A = (1 + \sqrt{17})/8 <=> m = (\sqrt{17}-1)/4`