Mừng tuổi tết mọi người nha !!! Chứng minh rằng : $\ 1^{3} + 2^{3} + 3^{3} + ... + n^{3} = (1 + 2 + 3 + ... + n)^{2}$

Ta cần chứng minh : $1^3+2^3+3^3+....+n^3 = (1+2+3+....+n)^2$ $(*)$

+) Xét $n=1$ thì $(*)$ đúng

+) Xét $n=2$ thì $(*)$ đúng

+) Giả sử $n=k$ đúng với $(*)$ Tức là :

$1^3+2^3+....+k^3 = (1+2+...+k)^2$

Ta cần chứng minh $(*)$ đúng vớ $n=k+1$

Thật vậy ta có :

$1^3+2^3+3^3+.....+(k+1)^3$

$ = (1^3+2^3+....+k^3)+(k+1)^3$

$ = (1+2+....+k)^2 + (k+1)^3$ $(1)$

Ta sẽ chứng minh $2.(k+1).(1+2+.....+k+(k+1)^2 = (k+1)^3$

Thấy $2.(k+1).(1+2+3+...+k)+(k+1)^2$

$ = 2.(k+1).\dfrac{(k.(k+1)}{2}$

$ = k.(k+1)^2 + (k+1)^2$

$ = (k+1)^2.(k+1) = (k+1)^3$ ( Đúng )

Khi đó $(1)$ trở thành :

$1^3+2^3+3^3+....+(k+1)^3 = (1+2+...+k)^2+2.(k+1).(1+2+....+k) + (k+1)^2 = (k+1)^3$

$\to đpcm$

Vậy $(*)$ đúng với mọi $n$ tự nhiên.