cho hình thang ABCD đáy lớn AB =4a đáy nhỏ CD=2a đường cao AD= 3a .I là trung điểm AD .Tính (vecto IA +vecto IB)*vecto ID

Đáp án:

$\left( {\overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {IB} } \right).\overrightarrow {ID}  =  - \frac{{9{a^2}}}{2}.$

Giải thích các bước giải:

Xét $\Delta ABI$ vuông tại $A$ ta có:

$\begin{array}{l}IB = \sqrt {I{A^2} + A{B^2}}  = \sqrt {{{\left( {\frac{{3a}}{2}} \right)}^2} + {{\left( {4a} \right)}^2}}  = \frac{{a\sqrt {73} }}{2}.\\ \Rightarrow \cos \angle AIB = \frac{{IA}}{{IB}} = \frac{{3a}}{2}.\frac{2}{{a\sqrt {73} }} = \frac{{3\sqrt {73} }}{{73}}.\end{array}$

Mà $\angle AIB$ và $\angle DIB$ là hai góc kề bù

$\Rightarrow \cos \angle DIB =  - \cos \angle AIB =  - \frac{{3\sqrt {73} }}{{73}}.$

Ta có:

$\begin{array}{l}\left( {\overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {IB} } \right).\overrightarrow {ID}  = \overrightarrow {IA} .\overrightarrow {ID}  + \overrightarrow {IB} .\overrightarrow {ID} \\ = IA.ID.\cos \left( {\overrightarrow {IA} ,\,\,\overrightarrow {ID} } \right) + IB.ID.\cos \left( {\overrightarrow {IB} ,\,\,\overrightarrow {ID} } \right)\\ = IA.ID.\cos {180^0} + IB.ID.\cos \angle DIB\\ = \frac{{3a}}{2}.\frac{{3a}}{2}.\left( { - 1} \right) + \frac{{3a}}{2}.\frac{{a\sqrt {73} }}{2}\left( { - \frac{{3\sqrt {73} }}{{73}}} \right)\\ =  - \frac{{9{a^2}}}{4} - \frac{{9{a^2}}}{4}\\ =  - \frac{{9{a^2}}}{2}.\end{array}$