Cho tam giác ABC đều có tâm O, cạnh 6cm. Vẽ đường tròn (O;2cm). Tính diện tích của phần tam giác nằm ngoài hình tròn (O).

Đáp án:

 

Giải thích các bước giải:

Gọi diện tích phần phải tính là S thì:

S = 3

Giả sử giao điểm của đường tròn (O; 2cm) với hai cạnh AB, AC lần lượt là M và N.

Nối CO cắt AB tại E => CE là đường cao của tam giác đều ABC cạnh 6cm nên:

CE = 6√3 /2 = 3√3 (cm)

Xét tam giác OEM vuông tại E nên:

EM² = OM² - OE² = 2² - (√)² = 1 (cm)

=> EM = 1(cm) => AM = 2EM = 2cm = AN

Dễ thấy tứ giác AMON là hình thoi có OA = OC = 2√3 (cm) và MN = 2cm (do tam giác MON đều) nên:

S_AMOC = AO.MN/2 = 2√3 (cm²)

Diện tích hình quạt tròn OMN là:

S_{quạt tròn OMN} = πR²n /360 = 2π/3 (cm²)

Do diện tích tam giác cong AMN là:

S_AMN = S_AMON - S_{quạt tròn OMN} = 2√3 - 2π/3 (cm²)

Vậy diện tích phần tam giác nằm ngoài hình tròn là:

S = 3(2√3 - 2π/3) = 2(3√3 - π) ≈ 4,1 (cm²)