Cho phương trình bậc hai x2 - 2(m+1)x + m - 4 = 0 a) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m. b) Tìm m để phương trình luôn có hai nghiệm trái dấu. c) Không giải phương trình hãy tìm một biểu thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m.

Đáp án:

Giải thích các bước giải:

 `x^2- 2(m+1)x + m - 4 = 0\ (1)`

a) `Δ'=[-(m+1)]^2-1.(m-4)`

`Δ'=m^2+2m+1-m+4`

`Δ'=m^2+m+5`

`Δ'=(m+\frac{1}{2})^2+\frac{17}{4}`

Ta có: `(m+\frac{1}{2})^2>0∀m`

`⇒(m+\frac{1}{2})^2+\frac{17}{4}≥\frac{17}{4}∀m`

`⇒` Phương trình `(1)` luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.

b) Để `(1)` có 2 nghiệm trái dấu:

`⇔ a.c<0`

`⇔ 1.(m-4)<0`

`⇔ m<4`

Vậy với `m<4` thì phương trình `(1)` có hai nghiệm trái dấu.

c) Phương trình có hai nghiệm $x_1,x_2$

Áp dụng hệ thức Vi-ét:

$\begin{cases}x_1+x_2=2m+2\\x_1.x_2=m-4\end{cases}$

$\Leftrightarrow\begin{cases}2m=x_1+x_2-2(1)\\-m=-x_1.x_2-4(2)\end{cases}$

Từ (1) $\Rightarrow m=\dfrac{x_1+x_2-2}{2}$
Từ (2) $\Rightarrow m=x_1x_2+4$

$\Rightarrow \dfrac{x_1+x_2-2}{2}=x_1x_2+4$

$⇔x_1+x_2-2=2(x_1x_2+4)$

$⇔(x_1+x_2)-2x_1x_2=10$

Vậy hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm $x_1,x_2$ không phụ thuộc vào $m$ là $(x_1+x_2)-2x_1x_2=10$