Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, nội tiếp đường trong tâm O và AB < AC. Vẽ đường kính AD của đường tròn (O). Kẻ BE và CF vuông góc với AD ( E, F thuộc AD). Kẻ AH vuông góc với BC ( H thuộc BC) a) chứng minh bốn điểm A, B, H, E cùng nằm trên một đường tròn b) chứng minh HE song song với CD c) gọi M la trung điểm của BC. Chứng minh ME = MF

Giải thích các bước giải:

a) Xét tứ giác AEHB có:

góc AEB = góc AHB = 90 độ

Mà 2 góc này ở vị trí cùng nhìn cạnh AB

`=>`Tứ giác AEHB nội tiếp

`=>`$A,B,H,E$ cùng nằm trên 1 đường tròn.

b) Ta có:

Tứ giác `AEHB` nội tiếp

`=>`góc `DEH` = góc `HBA` (tính chất)

`->`góc `DEH` = góc `CBA`

Đường tròn (O) có: góc `CDA` = góc `CBA`

`=>`góc `CDA` = góc `DEH` = góc `CBA`

mà 2 góc này ở vị trí so le trong

`->`$HE//CD$

c) Gọi `K` là trung điểm `EC`, `I` là giao điểm của `MK` và `ED`

Khi đó: `MK` là đường trung bình của tam giác `BCE`

=> `MK//BE` mà `BE` vuông góc `AD` (gt)

=> `MK` vuông góc `AD `

Hay: `MK` vuông góc với `EF` (1)

Lại có: `CF` vuông góc `AD` (gt)

=> `MK//CF`

Hay: `KI//CF`

Tam giác `ECF` có: `KI//CF, KE=KC` nên `IE=IF (2)`

Từ `(1)` và `(2)` suy ra: `MK` là đường trung trực `EF`

Hay: `ME = MF`