cho pt x ² +2(m-1)x+4m-11=0 (m là hằng số). chứng minh rằng pt luôn có hai nghiệm phân biệt x1, x2 với mọi m. tìm m để các nghiệm đó thỏa mãn hệ thức 2(x1-1) ²+(6-x2)(x1x2+11)=72 mn giúp e vs e đang cần gấn ạ

Đáp án: $m\in\{-3,2\}$

Giải thích các bước giải:

Ta có:

$\Delta'=(m-1)^2-(4m-11)=m^2-6m+12=(m-3)^2+3>0$

$\to$Phương trình luôn có $2$ nghiệm $x_1,x_2$ thỏa mãn

$\begin{cases}x_1+x_2=-2(m-1)\\x_1x_2=4m-11\end{cases}$

Mà $x_1^2+2(m-1)x_1+4m-11=0$

$\to x_1^2-2x_1+1+2mx_1+4m-12=0$

$\to (x_1-1)^2+2mx_1+4m-12=0$

$\to (x_1-1)^2=-2mx_1-4m+12$

Lại có:

$2(x_1-1)^2+(6-x_2)(x_1x_2+11)=72$

$\to 2(-2mx_1-4m+12)+(6-x_2)(4m-11+11)=72$

$\to 2(-2mx_1-4m+12)+4m(6-x_2)=72$

$\to -4mx_1-8m+24+24m-4mx_2=72$

$\to -4m(x_1+x_2)+16m=48$

$\to -4m\cdot (-2(m-1))+16m=48$

$\to 8m^2+8m=48$

$\to 8m^2+8m-48=0$

$\to m^2+m-6=0$

$\to (m-2)(m+3)=0$

$\to m\in\{-3,2\}$