Cho đường tròn (O) đường kính AB. Lấy điểm C thuộc đường tròn (O), với C khác A và B, biết CA < CB. Lấy điểm M thuộc đoạn OB, với M khác O và B. Đường thẳng đi qua điểm M vuông góc với AB cắt hai đường thẳng AC và BC lần lượt tại hai điểm D và H. 1) Chứng minh bốn điểm A, C, H, M cùng thuộc một đường tròn và xác định tâm của đường tròn này. 2) Chứng minh: MA.MB = MD.MH 3) Gọi E là giao điểm của đường thẳng BD với đường tròn (O), E khác B. Chứng minh ba điểm A, H, E thẳng hàng. 4) Trên tia đối của tia BA lấy điểm N sao cho MN = AB, Gọi P và Q tương ứng là hình chiếu vuông góc của điểm M trên BD và N trên AD. Chứng minh bốn điểm D, Q, H, P cùng thuộc một đường tròn. giúp mình câu (c) nha các bạn

Giải thích các bước giải:

a.Vì $AB$ là đường kính của $(O)\to\widehat{ACB}=90^o$

$\to \widehat{ACH}=\widehat{ACM}=90^o$

$\to A, C, H, M\in$ đường tròn đường kính $AH$

2.Xét $\Delta MDA,\Delta MHB$ có:

$\widehat{AMD}=\widehat{HMB}$

$\widehat{MAD}=\widehat{CAB}=90^o-\widehat{CBA}=90^o-\widehat{HBM}=\widehat{MHB}$

$\to \Delta MAD\sim\Delta MHB(g.g)$

$\to\dfrac{MA}{MH}=\dfrac{MD}{MB}$

$\to MA\cdot MB=MH\cdot MD$

3.Ta có: $AB$ là đường kính của $(O)\to \widehat{AEB}=90^o$

$\to AE\perp EB$

Vì $CA\perp CB\to CH\perp DA, HM\perp AB\to DH\perp AB\to H$ là trực tâm $\Delta DAB$

$\to AH\perp DB\to AH\perp BE$

Ta có: $AH\perp BD, HE\perp BD$

$\to A, H, E$ thẳng hàng

4.Ta có: $\widehat{DQN}=\widehat{DMN}=\widehat{DPN}=90^o$

$\to D, Q, M, P, N\in$ đường tròn đường kính $DN$

$\to D, Q, H, P$ cùng thuộc đường tròn đường kính $DN$