(a+b)(b+c)(c+a) >=8/9(a+b+c)(ab+bc+ca) nhanh cái

Ta có :

`(a+b+c)(ab+bc+ca)`

`⇔(a+b+c)(ab+bc+ca)-abc+abc`

`⇔(a+b)(ab+bc+ca)+c(ab+bc+ca)-abc+abc`

`⇔(a+b)(ab+bc+ca)+abc+c(bc+ca)-abc +abc`

`⇔(a+b)(ab+bc+ca)+c^2(b+a) +abc`

`⇔(ab+bc+ca+c^2)(a+b) +abc`

`⇔[b(a+c)+c(a+c)](a+b) +abc`

`⇔(b+c)(a+c)(a+b) +abc`

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si:

`a+b+c≥3`$\sqrt[3]{abc}$ 

`ab+ac+bc≥3`$\sqrt[3]{ab.bc.ca}=\sqrt[3]{a^2.b^2.c^2}$ 

`⇒(a+b+c)(ab+bc+ca)≥3`$\sqrt[3]{abc}.\sqrt[3]{a^2.b^2.c^2}$ 

`⇔(a+b+c)(ab+bc+ca)≥9`$\sqrt[3]{a^3.b^3.c^3}$`=9abc`

`⇔(a+b)(b+c)(a+c)+abc≥9abc`

`⇔(a+b)(b+c)(a+c)≥8abc`

`⇔(a+b)(b+c)(a+c)≥8/9abc+8/9(a+b)(b+c)(a+c)`

`⇔(a+b)(b+c)(a+c)≥8/9 [abc+(a+b)(b+c)(a+c)]`

`⇔(a+b)(b+c)(a+c)≥8/9(a+b+c)(ab+bc+ca)`