Cho (O,R) và điểm A nằm ngoài đường tròn. Kẻ tiếp tuyến AB, AC (B, C là tiếp điểm). Trên đường thẳng d đi qua trung điểm của AB và song song với BC lấy P. Đường tròn đường kính OP cắt (O) tại M và N. Chứng minh: PN=PM=PA

1. Ta có: ˆAMO=90oAMO^=90o (do AMAM là tiếp tuyến của (O))

⇒M⇒M thuộc đường tròn đường kính (AO)(AO) (1)

ˆANO=90oANO^=90o (do ANAN là tiếp tuyến đường tròn (O)(O))

⇒N⇒N thuộc đường tròn đường kính (AO)(AO) (1)

Do II là trung điểm của dây cung BCBC nên OI⊥CB⇒ˆOIA=90oOI⊥CB⇒OIA^=90o

⇒I⇒I thuộc đường tròn đường kính (AO)(AO) (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra A,M,O,I,NA,M,O,I,N thuộc đường tròn đường kính (AO)(AO)

2. Xét ΔAMBΔAMB và ΔACMΔACM có:

ˆAA^ chung

ˆAMB=ˆACMAMB^=ACM^ (góc tạo bởi tiếp tuyến, dây cung và góc nội tiếp cùng chắn cung MB)

⇒ΔAMB∼ΔACM⇒ΔAMB∼ΔACM (g.g)

⇒AMAC=ABAM⇒AMAC=ABAM

⇒AM2=AB.AC⇒AM2=AB.AC

3. Ta có: BE//AMBE//AM (⊥OM)(⊥OM)

⇒ˆMAB=ˆEBI⇒MAB^=EBI^ (hai góc ở vị trí đồng vị)

ˆMAB=ˆMNIMAB^=MNI^ (do O, I, N, A, M nội tiếp câu 1, góc nội tiếp cùng chắn cung MI)

⇒ˆEBI=ˆMNI⇒EBI^=MNI^

⇒B,N,I,E⇒B,N,I,E cùng thuộc một đường tròn

⇒ˆEIB=ˆENB⇒EIB^=ENB^ (góc nội tiếp cùng chắn cung EB)

mà ˆENB=ˆMCBENB^=MCB^ (góc nội tiếp cùng chắn cung MB)

⇒ˆEIB=ˆMCB⇒EIB^=MCB^ mà chúng ở vị trí đồng vị nên IE//CMIE//CM

4. Ta gọi HH là trung điểm cạnh OAOA, DD là trọng tâm ΔOAMΔOAM

⇒MDMH=MGMI=23⇒MDMH=MGMI=23

⇒GD//IH⇒GDIH=23⇒GD//IH⇒GDIH=23

mà ΔOAI⊥I,HΔOAI⊥I,H là trung điểm ứng với cạnh huyền nên HI=OA2HI=OA2

⇒GD=23.IH=23.12.OA=OA3⇒GD=23.IH=23.12.OA=OA3

Mà ΔOAMΔOAM cố định nên D cố định, OAOA cố định

suy ra GG cố định, GG thuộc đường tròn tâm D, bánh kính OA3OA3.

Bài đây bạn nhá