Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn đường kính AD.Gọi M là một điểm di động trên cung nhỏ AB(M không trùng với các điểm A và B). a) Chứng minh MD là đường phân giác của góc BMC b) Cho AD=2R.Tính diện tích của tứ giác ABDC theo R c) Gọi O là tâm đường tròn đường kính AD.Hãy tính diện tích hình viên phân giới hạn bởi cung AMB và dây AB theo R. d) Gọi K là giao điểm của AB và MD,H là giao điểm của AD và MC.Chứng minh ba đường thẳng AM,BD,HK đồng quy.

Đáp án:

a) Vì B và C thuộc đường tròn đường kính AD nên ABD = ACD = 90 độ

Xét hai tam giác vuông ABD và ACD có chung cạnh huyền AD, hai cạnh góc vuông AB và AC bằng nhau (do ∆ ABC đều)

⇒ ∆ ABD = ∆ ACD (cạnh huyền – cạnh góc vuông)

⇒ BAD = CAD (1)

Vì AMBD là tứ giác nội tiếp nên:

BMD = BAD (2)

Vì AMDC là tứ giác nội tiếp nên:

CMD = CAD (3)

Từ (1), (2) và (3) => BMD = CMD

⇒ MD là phân giác của góc BMC.

b) Ta có: BAD = CAD = 1/2BAC = 30 độ

Xét ∆ ABD vuông tại B có:

BA=AD.cosBAD=2R.cos$30^o$=R√3

Vì AB = AC, DB = DC nên AD là trung trực của BC

⇒ AD ⊥ BC.

Tứ giác ABDC có AD ⊥ BC nên

S(ABCD)=1/2AD.BC=1/2.2R.R√3 =R²√3

c) Vẽ OI ⊥ AB tại I. Xét tam giác vuông OIA ta có:

OI=OA.sinOAI=R.sin $30^o$=R/2

⇒ Diện tích tam giác AOB là

S(OAB)=1/2AB.OI=1/2R√3.R/2=R²√3/4 (ĐVDT)

Ta có: AOB=2AOC=$120^o$ (góc ở tâm và góc nội tiếp cùng chắn cung AB)

Diện tích hình quạt AOB là $\pi$ R².120/360 = $\pi$ R²/3

Suy ra diện tích hình viên phân cần tìm là$\pi R^2$/3-$R^2√3$/4=R²(4$\pi$ -3√3)/12 (đvdt)

d) Gọi J là giao điểm của AM và BD.

Vì M , B thuộc đường tròn đường kính AD nên DM ⊥ AJ, AB ⊥ DJ

⇒ K là trực tâm của tam giác AJD

⇒ JK ⊥ AD

⇒ JK // BC (cùng ⊥ AD) (4)

Tứ giác AMKH có KMH = KAH (=BMD) nên là tứ giác nội tiếp

⇒ KHA =$ 180^o – KMA = 180^o – 90^o = 90^o$

⇒ KH ⊥ AD

⇒ KH // BC (cùng ⊥ AD) (5)

Từ (4) và (5), theo tiên đề Ơ–clít về đường thẳng song song, ta có J, K, H thẳng hàng.

Vậy AM, BD và KH đồng quy tại J.