Cho đường tròn tâm (O) đường kính AB = 2R. Gọi C là trung điểm của OA, qua C kẻ dây MN vuông góc với OA tại C. Gọi K là điểm tùy ý trên cung nhỏ BM, H là giao điểm của AK và MN. a) Chứng minh tứ giác BCHK nội tiếp b) Chứng minh AK.AH=R^2 c) Trên KN lấy điểm I sao cho KI = KM, chứng minh NI=NB

Giải thích các bước giải:

a.Vì $AB$ là đường kính của (O)

$\to AK\perp BK$

Mà $MN\perp AB\to \widehat{ACH}=\widehat{HKB}=90^o$

$\to \Diamond BCHK$ nội tiếp

b.Từ câu a ta có:

$\widehat{ACH}=\widehat{HBK}=\widehat{AKB}$

Mà $\widehat{HAC}=\widehat{KAB}$

$\to\Delta  ACH\sim\Delta AKB(g.g)$

$\to\dfrac{AC}{AK}=\dfrac{AH}{AB}$

$\to AH.AK=AB.AC=\dfrac12AO\cdot\dfrac2AO=AO^2=R^2$

c.Vì $C$ là trung điểm $AO, MN\perp AO=C$

$\to MN$ là trung trực của $AO$

$\to MA=MO$

Mà $OA=OM\to MA=MO=AO=R\to\Delta AMO$ đều

$\to\widehat{MIK}=60^o\to\widehat{MIN}=180^o-60^o=120^o$

Do $AB\perp MN=C\to A$ nằm chính giữa cung $MN, AB$ là trung trực của $MN$

$\to\widehat{MON}=2\widehat{MOA}=120^o$

$\to\widehat{MKI}=\widehat{MKN}=\dfrac12\widehat{MON}=60^o$

Do $KM=KI\to \Delta KMI$ đều

$\to MI=MK$

Do $AB$ là trung trực của $MN$

$\to BM=BN$

Kết hợp $\widehat{MBN}=\dfrac12\widehat{MON}=60^o$

$\to\Delta BMN$ đều

$\to BM=MN,\widehat{NMB}=\widehat{IMK}=60^o$

$\to \widehat{NMB}-\widehat{IMB}=\widehat{IMK}-\widehat{IMB}$

$\to\widehat{NMI}=\widehat{BMK}$

$\to\Delta MKB=\Delta MIN(c.g.c)$

$\to KB=NI$