cho hàm số y=1/3x^3 -3x^2-3x+1 có đồ thị (C ) .trong các tiếp tuyến với (C) tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất bằng bao nhiêu

Đáp án:

\[{k_{\min }} =  - 12 \Leftrightarrow x = 3\]

Giải thích các bước giải:

 Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại điểm \(x = {x_0}\) là: \(k = f'\left( {{x_0}} \right)\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}
y = f\left( x \right) = \dfrac{1}{3}{x^3} - 3{x^2} - 3x + 1\\
 \Rightarrow f'\left( x \right) = {x^2} - 6x - 3
\end{array}\)

Do đó, hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho là:

\(k = f'\left( x \right) = {x^2} - 6x - 3 = \left( {{x^2} - 6x + 9} \right) - 12 = {\left( {x - 3} \right)^2} - 12 \ge  - 12,\,\,\,\forall x \in R\)

Dấu '=' xảy ra khi và chỉ khi \({\left( {x - 3} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow x = 3\)

Vậy \({k_{\min }} =  - 12 \Leftrightarrow x = 3\)