Cho hình bình hành ABCD có AB = 2AD. Gọi E và F theo thứ tự là trung điểm của AB và CD. a. Các tứ giác AEFD, AECF là hình gì ? Vì sao ? b. Gọi M là giao điểm của AF và DE, gọi N là giao điểm của BF và CE. Chứng minh rằng tứ giác EMFN là hình chữ nhật. c. Hình bình hành ABCD nói trên có thêm điều kiện gì thì EMFN là hình vuông ?

a) Ta có: $AE=DE=\dfrac{1}{2}AB$ và $AE\parallel DF$

$\Rightarrow$ tứ giác $AEFD$ là hình bình hành

Có thêm $AE=AD=\dfrac{1}{2}AB$

$\Rightarrow AEFD$ là hình thoi (dấu hiệu nhận biết hình thoi)

$AE\parallel FC$ và $AE=FC$ (vì cùng$=\dfrac{1}{2}AB)$

$\Rightarrow AECF$ là hình bình hành

b) Tứ giác $AECF$ là hình bình hành nên $EN\parallel MF$ (1)

Chứng minh tương tự câu a tứ giác $EBFN$ là hình bình hành

$\Rightarrow ME\parallel FN$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $EMFN$ là hình bình hành (3)

Tứ giác $AEFD$ là hình thoi nên suy ra $AF\bot DE$

$\Rightarrow \widehat{EMF}=90^o$ (4)

Từ (3) và (4) suy ra $EMFN$ là hình chữ nhật

c) Để $EMFN$ là hình vuông thì $ME=MF$

$\Rightarrow 2ME=2MF\Rightarrow DE=AF$

Khi đó $AEFD$ là hình vuông

$\Rightarrow \widehat{DAE}=90^o$

Vậy tứ giác $ABCD$ là hình chữ nhật có $AB=2AD$ thì $EMFN$ là hình vuông.