Cho nửa (O;AB/2) và điểm C trên đường tròn sao cho CA = CB. Gọi M là trung điểm của dây cung AC. Nối BM cắt cung AC tại E; AE và BC kéo dài cắt nhau tại D a) C/m DE.DA = DC.DB b) C/m MOCD là hình bình hành c) Kẻ EF vuông góc AC. Tính tỉ số MF/EF? d) Vẽ (E;EA) cắt đường tròn (O) tại điểm thứ 2 là N, EF cắt AN tại I, cắt (O) tại điểm thứ 2 là K, EB cắt AN tại H. C/m tứ giác BHIK nội tiếp.

Giải thích các bước giải:

a.Vì $AB$ là đường kính của $(O)$

$\to BE\perp AE, AC\perp BC$

$\to \widehat{DEB}=\widehat{DCA}=90^o$

$\to \Delta DEB\sim\Delta DCA(g.g)$

$\to\dfrac{DE}{DC}=\dfrac{DB}{DA}$

$\to DE.DA=DC.DB$

b.Vì $M$ là trung điểm $AC\to MO\perp AC\to MO//BC$

Mà $AC\perp BD, BE\perp AD$

$\to M$ là trực tâm $\Delta DAB\to DM\perp AB$

Do $CA=CB\to C$ nằm chính giữa cung $AB\to OC\perp AB$

$\to DM//CO$

$\to MOCD$ là hình bình hành

c.Ta có $EF\perp MF$

$\to EF//BC$

$\to \dfrac{EF}{CB}=\dfrac{MF}{MC}$

$\to \dfrac{MF}{EF}=\dfrac{MC}{CB}=\dfrac{12AC}{AC}=\dfrac12$ 

d.Ta có: $EA=EN$

$\to \widehat{ENH}=\widehat{ENA}=\widehat{EAN}=\widehat{EBN}$

$\to \Delta ENH\sim\Delta EBN(g.g)$

$\to\dfrac{EN}{EB}=\dfrac{EH}{EN}\to EN^2=EH.EB$

Mà $\widehat{ENI}=\widehat{ENH}=\widehat{EBN}=\widehat{EKN}$

$\to \Delta ENI\sim\Delta EKN(g.g)$
$\to \dfrac{EN}{EK}=\dfrac{EI}{EN}\to EN^2=EI.EK$

$\to EI.EK=EH.EB$

$\to \dfrac{EI}{EB}=\dfrac{EH}{EK}$

$\to \Delta EHI\sim\Delta EKB(c.g.c)$
$\to \widehat{EHI}=\widehat{EKB}$

$\to BHIK$ nội tiếp