Cho đường tròn tâm O đường kính AB. Vẽ dây cung CD vuông góc với AB tại I (I nằm giữa A và O ). Lấy điểm E trên cung nhỏ BC ( E khác B và C ), AE cắt CD tại F. Chứng minh: a) BEFI là tứ giác nội tiếp đường tròn. b) cm ADC =CBE

Đáp án:

Giải thích các bước giải:

a) Tứ giác BEFIBEFI có:

ˆBIF=90oBIF^=90o (giả thiết) suy ra II thuộc đường tròn đường kính (BF)

ˆBEF=90oBEF^=90o (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) nên EE thuộc đường tròn đường kính (BF)

⇒BEFI⇒BEFI nội tiếp đường tròn đường kính (BF)

b) AB⊥CD,ΔOCDAB⊥CD,ΔOCD cân có OI là đường cao nên cũng là đường trung tuyến, nên I là trung điểm của CD

ΔACDΔACD có AIAI vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến nên ΔACDΔACD cân đỉnh A nên AC=ADAC=AD

⇒ˆACF=ˆAEC⇒ACF^=AEC^ (hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau)

Xét ΔACFΔACF và ΔAECΔAEC có:

ˆAA^ chung

ˆACF=ˆAECACF^=AEC^ (chứng minh trên)

⇒ΔACF∼ΔAEC⇒ΔACF∼ΔAEC (g.g)

⇒ACAE=AFAC⇒ACAE=AFAC (hai cạnh tương ứng tỉ lệ)

⇒AE.AF=AC2