Cho tứ diện abcd, có ab,ac ,ad đôi một vuông góc với nhau ad ad=2, ab=ac=1. I là trung điểm của đoan BC. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng al và bd

Đáp án: $\dfrac23$

Giải thích các bước giải:

Gọi $BE//AI, E\in AC$

Vì $I$ là trung điểm $BC\to AI$ là đường trung bình $\Delta CBE$

$\to A$ là trung điểm $CE\to EA=AC=1$

Do $BE//AI\to AI//(BDE)$

$\to d(AI,BD)=d(A, BDE)$

Gọi $AH\perp BE,AF\perp DH$

Ta có $AD\perp AC, AD\perp AB, AB\perp AC$

$\to SA\perp (ABC)$

$\to SA\perp AE, SA\perp AH$

Mà $AH\perp BE\to BE\perp ADH$

$\to BE\perp AF$

Lại có $AF\perp DH$

$\to AF\perp DBE$

$\to d(A,BDE)=AF$

Mà $\dfrac{1}{AF^2}=\dfrac{1}{AD^2}+\dfrac{1}{AH^2}=\dfrac{1}{AD^2}+\dfrac{1}{AE^2}+\dfrac{1}{AB^2}$

$\to \dfrac{1}{AF^2}=\dfrac94$

$\to AF=\dfrac23$