Cho đường tròn (O; R), đường kính AB. Lấy C thuộc đường tròn (O) (C khác A và B). Tiếp tuyến tại A của đường tròn (O) cắt đường thẳng BC tại M. a. Chứng minh ∆ABC là tam giác vuông và 4R2 = BC.BM b. Gọi K là trung điểm MA. Chứng minh: KC là tiếp tuyến của đường tròn (O). c. Tia KC cắt tiếp tuyến tại B của đường tròn (O) tại D, chứng minh: MO ⊥ AD Giải dùm e câu C vs ạ

Đáp án:

Bạn tham khảo nhé!

Giải thích các bước giải:

a) Xét tam giác ABC có: $OC = \frac{1}{2}AB\,\,\left( { = R} \right)$

$\Rightarrow \Delta ABC$ vuông tại C (Tam giác có trung tuyến ứng với 1 cạnh bằng nửa cạnh ấy).

Xét tam giác vuông ABM, đường cao AC có:

$A{B^2} = BC.BM$ (hệ thức lượng)

$\Rightarrow {\left( {2R} \right)^2} = BC.BM \Rightarrow 4{R^2} = BC.BM$.

b) Xét tam giác vuông ACM có: $KC = \frac{1}{2}AM = KA = KM$ (trung tuyến ứng với cạnh huyền trong tam giác vuông).

$\Rightarrow \Delta KAC$ cân tại $A \Rightarrow \widehat {KAC} = \widehat {KCA}$ (2 góc ở đáy).

Tam giác OAC có $OA = OC \Rightarrow \Delta OAC$ cân tại $O \Rightarrow \widehat {OAC} = \widehat {OCA}$ (2 góc ở đáy).

$\Rightarrow \widehat {OCK} = \widehat {OCA} + \widehat {KCA} = \widehat {OAC} + \widehat {KAC} = \widehat {OAK} = {90^0}$.

$\Rightarrow KC \bot OC \Rightarrow KC$ là tiếp tuyến của (O) tại C.

c) Áp dụng tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau ta có: OK, OD lần lượt là phân giác góc $\widehat {AOC},\,\,\widehat {BOC}$.

$\Rightarrow OK \bot OD$ (phân giác của 2 góc kề bù) $\Rightarrow \Delta KOD$ vuông tại O.

Lại có $BD = CD$.

$\Rightarrow AM.BD = 2CK.CD = 2.O{C^2} = 2{R^2}$ (Hệ thức lượng).

Ta có: $OA.AB = R.2R = 2{R^2}$.

$\Rightarrow OA.AB = AM.BD$.

$\Rightarrow \frac{{OA}}{{BD}} = \frac{{AM}}{{AB}}$.

Xét tam giác OAM và tam giác DBA có:

$\widehat {OAM} = \widehat {DBA} = {90^0}$;

$\frac{{OA}}{{BD}} = \frac{{AM}}{{AB}}\,\,\left( {cmt} \right)$

$\Rightarrow \Delta OAM \sim \Delta DBA\,\,\left( {c.g.c} \right) \Rightarrow \widehat {AOM} = \widehat {BDO}$

Gọi I là giao điểm của MO và AD.

Xét tam giác OAI có:

$\widehat {IAO} + \widehat {IOA} = \widehat {IAO} + \widehat {AOM} = \widehat {IAO} + \widehat {BDO} = {90^0}$ (do tam giác ABD vuông tại B)

$\Rightarrow \Delta OAI$ vuông tại I $\Rightarrow AI \bot OI$ hay $MO \bot AD$ (đpcm).