tìm số nguyên x, y, z biết x^3 + y^3 + z^3 = x + y + z + 2020

Đáp án:

Giải thích các bước giải:

$ x^3+y^3+z^3= y+x+z+2020$
$⇒ x^3+y^3+z^3-x-y-z=2020$
$⇒(x^3-x)+(y^3-y)+(z^3-z)=2020$
$⇒x(x^2-1)+y(y^2-1)+z(z^2-1) = 2020$
$⇒ (x-1)x(x+1)+(y-1)y(y+1)+(z-1)z(z+1) = 2020$

Đặt $A= (x-1)x(x+1)+(y-1)y(y+1)+(z-1)z(z+1) $

Ta thấy mỗi số hạng của A đều là tích 3 số nguyên liên tiếp

$⇒ (x-1)x(x+1) \vdots 2; 3 ∀x$

     $(y-1)y(y+1) \vdots 2; 3 ∀y$

     $(z-1)z(z+1) \vdots 2; 3 ∀z$

Mà $(2, 3) = 1$

$⇒ (x-1)x(x+1) \vdots 6 ∀x$

     $(y-1)y(y+1) \vdots 6 ∀y$

     $(z-1)z(z+1) \vdots 6 ∀z$

$⇒ (x-1)x(x+1)+(y-1)y(y+1)+(z-1)z(z+1) \vdots 6 ∀x, y, z$

Mà $2020 $ không chia hết cho $6$

Nên không có x, y, z nguyên thỏa mãn đề bài