chứng minh dấu hiệu nhận biết hình vuông

Đáp án:

Ta có 5 dấu hiệu nhận biết hình vuông:

1. Hình chữ nhật có 2 cạnh kề bằng nhau là hình vuông

`ABCD` là hình chữ nhật có 2 cạnh kề `AB = AD`

Vì `ABCD` là hình chữ nhật nên:

`AB = CD`; `AD = BC` và 4 góc `A,B,C,D` vuông

Mà `AB = AD`

`=> AB = AD = BC = CD`

Tứ giác `ABCD` có 4 cạnh bằng nhau và 4 góc bằng nhau

`=> ABCD` là hình vuông.

Vậy hình chữ nhật có 2 cạnh kề bằng nhau là hình vuông.

2. Hình chữ nhật có 2 đường chéo vuông góc với nhau là hình vuông

`ABCD` là hình chữ nhật có 2 đường chéo `AC= BD` và `AC` cắt `BD` tại `O`

`=> O` là trung điểm của `AC` và `BD` (theo tính chất)

Do `AC` vuông góc với `BD` nên $\widehat{ AOD} = \widehat{ AOD} = 90^o$

Xét tam giác $ABD$ có $AO$ là đường trung tuyến đồng thời là đường cao

`=>` tam giác $ABD$ cân tại $A$

`=> AB = AD`

`=> AB = AD = BC = CD`

`=>` tứ giác `ABCD` có 4 góc vuông và 4 cạnh bằng nhau

`=> ABCD` là hình vuông.

Vậy hình chữ nhật có 2 đường chéo vuông góc với nhau là hình vuông.

3. Hình chữ nhật có 1 đường chéo là phân giác của 1 góc vuông là hình vuông

Hình chữ nhật `ABCD` có `AC` là phân giác của $\widehat{ BAD}$

`=>` $\widehat{ BAC} =\widehat{ DAC} = 45^o$

`CA` là phân giác $\widehat{ BCD}$ nên $\widehat{ BCA}= \widehat{ DCA} =45^o$

$ \Rightarrow \widehat {BAC} = \widehat {BCA}= {45^o}$

`=>` Tam giác `BAC` vuông cân tại `B`

`=> BA = BC`

`=> CD=BA = BC = AD`

`=>` tứ giác `ABCD` có 4 góc vuông và 4 cạnh bằng nhau

`=> ABCD` là hình vuông.

Vậy hình chữ nhật có 1 đường chéo là phân giác của 1 góc vuông là hình vuông.

4. Hình thoi có 1 góc vuông là hình vuông

Hình thoi `ABCD` có góc `A` vuông

Vì `ABCD` là hình thoi nên `AB = AD = BC = CD`

Và góc `A = C`; góc `B =  D`

Mà góc `A = 90^o`

`=>` 4 góc `A,B,C,D` đều vuông (tổng 4 góc trong 1 tứ giác `= 360^o`)

`=>` tứ giác ABCD có 4 cạnh bằng nhau và 4 góc bằng nhau

`=> ABCD` là hình vuông.

Vậy hình thoi có 1 góc vuông là hình vuông

5. Hình thoi có 2 đường chéo bằng nhau là hình vuông

Hình thoi `ABCD` có 2 đường chéo `AC = BD`

Gọi `O` là giao điểm của `AC` và `BD`

Vì `ABCD` là hình thoi nên `AC` vuông góc với `BD` tại `O` là trung điểm của `AC` và `BD`

Lại có `AC = BD`

`=> OA = OB = OC = OD`

`=>` tam giác `OAB` và `OAD` vuông cân tại `O`

`=>` $\widehat{ OAB} =\widehat{ OAD} = 45^o$

`=>`$\widehat BAD = 90^o$

`=>` 4 góc của hình thoi đều bằng `90^o`

`=>` Tứ giác ABCD có 4 cạnh bằng nhau và 4 góc bằng nhau

`=>` ABCD là hình vuông.

Vậy hình thoi có 2 đường chéo bằng nhau là hình vuông.