Cho hình chóp SABCD có đáy là hình bình hành, có thể tích là V. Gọi M, P lần lượt là trung điểm của SB, SD. Mặt phẳng (AMP) cắt SC tại N. Tính thể tích khối đa diện ABCDMNP

Đáp án:

\({V_{ABCDMNP}} = \dfrac{{5V}}{6}\).

Giải thích các bước giải:

Trong \(\left( {ABCD} \right)\) gọi \(O = AC \cap BD\).

Trong \(\left( {SBD} \right)\) gọi \(I = MN \cap SO\).

Trong \(\left( {SAC} \right)\) kéo dài AI cắt SC tại N.

MP là đường trung bình của tam giác SBD => MP // BD => MI // OB

Xét tam giác SOB có:

M là trung điểm của SB

MI // OB (cmt)

=> I là trung điểm của SO (định lí đường trung bình của tam giác).

Áp dụng định lí Menelaus trong tam giác SOC ta có:

\(\dfrac{{AO}}{{AC}}.\dfrac{{NC}}{{NS}}.\dfrac{{IS}}{{IO}} = 1 \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}.\dfrac{{NC}}{{NS}}.1 = 1 \Leftrightarrow \dfrac{{NC}}{{NS}} = 2 \Rightarrow \dfrac{{SN}}{{SC}} = \dfrac{1}{3}\).

 Ta có:

\(\begin{array}{l}\dfrac{{{V_{S.AMN}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \dfrac{{SM}}{{SB}}.\dfrac{{SN}}{{SC}} = \dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{6}\\ \Rightarrow {V_{S.AMN}} = \dfrac{1}{6}{V_{S.ABC}} = \dfrac{1}{6}.\dfrac{1}{2}V = \dfrac{V}{{12}}\\\dfrac{{{V_{S.ANP}}}}{{{V_{S.ACD}}}} = \dfrac{{SN}}{{SC}}.\dfrac{{SP}}{{SD}} = \dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{6}\\ \Rightarrow {V_{S.ANP}} = \dfrac{1}{6}{V_{S.ACD}} = \dfrac{1}{6}.\dfrac{1}{2}V = \dfrac{V}{{12}}\\ \Rightarrow {V_{S.AMNP}} = {V_{S.AMN}} + {V_{S.ANP}} = \dfrac{V}{{12}} + \dfrac{V}{{12}} = \dfrac{V}{6}\end{array}\)

Ta có: \({V_{S.AMNP}} + {V_{ABCDMNP}} = V \Rightarrow {V_{ABCDMNP}} = V - \dfrac{V}{6} = \dfrac{{5V}}{6}\).

Vậy \({V_{ABCDMNP}} = \dfrac{{5V}}{6}\).