Cho tam giác MNP vuông tại M, có MN < MP, A là trung điểm NP. Đường trung trực của đoạn thẳng NP cắt cạnh MP tại B. a, Chứng minh tam giác BNP cân, từ đó so sánh BM và BP b, Qua P kẻ đường vuông góc với đường thẳng NB tại điểm C. Chứng minh tam giác MBN bằng tam giác CBP c, Chứng minh AB là tia phân giác của góc MAC

a) Xét $\Delta BAN$ và $\Delta BAP$ có:

$BA$ chung

$\widehat{BAN}=\widehat{BAP}=90^o$ (do $BA$ là đường trung trực của $NP$)

$AN=AP$ (do $BA$ là đường trung trực của $NP$)

$\Rightarrow\Delta BAN=\Delta BAP$ (c.g.c)

$\Rightarrow BN=BP$ (hai cạnh tương ứng bằng nhau) (1)

$\widehat{NBA}=\widehat{PBA}$ (hai góc tương ứng)

$\Rightarrow\Delta BNP$ cân đỉnh N.

Xét $\Delta NMB\bot M$ có:

$\widehat M>\widehat{N}\Rightarrow BN>BM$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $BP>BM$

(Cách khác: $\Delta BNP$ có $BA$ vừa là đường trung tuyến, vừa là đường cao nên $\Delta BNP$ cân đỉnh B.

$\Rightarrow BN=BP$

Mà $\Delta NMB\bot M\Rightarrow\widehat M>\widehat N\Rightarrow BN>BM$ (hai hệ giữa góc và cạnh trong tam giác)

Kết hợp với BN=BP (chứng minh trên) $\Rightarrow BP>BM$)

b) Xét hai tam giác vuông $\Delta MBN$ và $\Delta CBP$ có:

$\widehat{B_1}=\widehat{B_2}$ (đối đỉnh)

$BN=BP$ (chứng minh ở câu a)

$\Rightarrow\Delta MBN=\Delta CBP$ (cạnh huyền-góc nhọn)

c) Ta có: $\widehat{B_1}=\widehat B_2$ (đối đỉnh)

$\widehat{NBA}=\widehat{PBA} $ (chứng minh trên)

$\Rightarrow\widehat{B_1}+\widehat{NBA}=\widehat{B_2}+\widehat{PBA}$

hay $\widehat{MBA}=\widehat{CBA}$

Xét $\Delta MBA$ và $\Delta CBA$ có:

$BM=BC$ (do $\Delta MBN=\Delta CBP$ chứng minh câu b)

$\widehat{MBA}=\widehat{CBA}$ (chứng minh trên)

$BA$ chung

$\Rightarrow\Delta MBA=\Delta CBA$ (c.g.c)

$\Rightarrow \widehat{BAM}=\widehat{BAC}$ (hai góc tương ứng)

$\Rightarrow AB$ là phân giác $\widehat{MAC}$.