Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với đáy, mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng (SBC), góc giữa 2 mặt phẳng (SAC) và (SBC) là 60, SB=a căn 2, góc BSC=45. Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a là

Trong (SAB), gọi $AH\bot SB$ $(H\in SB)$

$(SAB)\bot(SBC)$

$(SAB)\cap(SBC)=SB$

$AH\subset (SAB),AH\bot SB$

$\Rightarrow AH\bot(SBC)\Rightarrow AH\bot BC, AH\bot SC$

Mà $BC\bot SA$ (vì $SA\bot$ đáy)

nên $BC\bot(SAH)$ hay $BC\bot(SAB)$

$\Rightarrow BC\bot AB$ và $BC\bot SB$

Hay $\Delta ABC$ và $\Delta SBC\bot$ tại $B$

Lại có $\widehat{BSC}=45^o\Rightarrow SB=BC=a\sqrt2$, $SC=\sqrt{2SB^2}=2a$

Gọi $K\bot SC$ $(K\in SC)$

$SC\bot AK$

$SC\bot AH$

$\Rightarrow SC\bot(AHK)\Rightarrow SC\bot HK$

$\Rightarrow\widehat{((SAC),(SBC))}=\widehat{(HK,AK)}=\widehat{AKH}=60^o$

$AH\bot (SBC)\Rightarrow AH\bot HK\Rightarrow \Delta HK\bot H$, có $\widehat K=60^o$

Đặt $AB=x$ $(x>0)\Rightarrow AC=\sqrt{x^2+2a^2}$

$\Delta$ vuông $SAB$ có: $AB^2=BH.SB\Rightarrow BH=\dfrac{x^2}{a\sqrt2}$

$SH=SB-BH=a\sqrt2-\dfrac{x^2}{a\sqrt2}=\dfrac{2a^2-x^2}{a\sqrt2}$

$\Rightarrow AH^2=BH.SH=\dfrac{x^2(2a^2-x^2)}{a\sqrt2}$

$\Rightarrow \Delta SHK\sim\Delta SCB$, $\Delta SCB\bot$ cân

$\Rightarrow \Delta SHK\bot$ cân đỉnh $K\Rightarrow HK=SK$

$\Rightarrow SH^2=2HK^2\Rightarrow HK^2=\dfrac{(2a^2-x^2)^2}{4a^2}$

Ta có: $\dfrac{AH^2}{HK^2}=\tan^2\widehat{AKH}=\tan^260^o=3$

$\Rightarrow\dfrac{x^2(2a^2-x^2)}{2a^2}.\dfrac{4a^2}{(2a^2-x^2)^2}=3$

$\Leftrightarrow\dfrac{2x^2}{2a^2-x^2=3\Leftrightarrow2x^2=6a^2-3a^2}$

$\Leftrightarrow x^2=\dfrac{6}{5}a^2$

$AB=x=a\sqrt{\dfrac{6}{5}}$

$SA=\sqrt{SB^2-AB^2}=\sqrt{2a^2-\dfrac{6}{5}a^2}=a\sqrt{\dfrac{4}{5}}$

$V_{S.ABC}=\dfrac{1}{3}.SA.S_{ABC}$

$=\dfrac{1}{3}.a\sqrt{\dfrac{4}{5}}.\dfrac{1}{2}.a\sqrt{\dfrac65}.a\sqrt2$

$=\dfrac{2a^3\sqrt3}{15}$.