Trung tâm thành phố đồng hới có tất cả 2019 bóng đèn chiếu sáng đô thị, bao gồm 671 bóng đèn ánh sáng trắng. 673 bóng đèn ánh sáng vàng nhạt, 675 bóng đèn ánh sáng vàng sậm. Người ta thực hiện dự án thay bóng đèn theo quy luật sau: Mỗi lần người ta tháo bỏ hai bóng đèn khác loại và thay vào đó bằng 2 bóng đèn thuộc loại còn lại. Hỏi theo quy trình trên, đến một lúc nào đó, người ta có thể nhận được tất cả các bóng đèn đều thuộc cùng một loại không?

Giải thích các bước giải:

Ta xét 3 số : 670, 672, 674 có:

673 chia cho3 dư 1

675 chia cho 3 dư 0

671 chia cho 3 dư 2

\(\Rightarrow\) Mỗi loại bóng đèn khi chia cho 3 đều có các số dư khác nhau là 0, 1, 2. (*)

Sau mỗi bước thay bóng đèn thì số bóng đèn mỗi loại hoặc giảm đi 1 hoặc tăng thêm 2, khi đó số dư của chúng thay đổi như sau: dư 0 \(\rightarrow \) dư 2; dư 1 \(\rightarrow \) dư 0; dư 2 \(\rightarrow \) dư 1

Do đó khẳng định (*) luôn đúng dù thay đổi bóng bao nhiêu lần.

\(\Rightarrow\) Chỉ luôn có 1 loại bóng đèn chia hết cho 3

Giả sử thay đến một lúc nào đó mà tất cả các bóng đèn chỉ có một loại duy nhất thì bóng đèn của 2 loại kia là 0 và chia hết cho 3 \(\Rightarrow \) Trái với trên.

Vậy không thể thay bóng theo quy trình trên để tất cả bóng cùng 1 loại.