Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn, 2 đường cao BM ,CN cắt nhau tại H. a) Chứng minh tam giác HNB đồng dạng với tam giác HMC .b)AB.AN=AC.AM. c)Gọi E là trung điểm MN, K là trung điểm BC. Chứng minhEK vuông góc vớiMN.d)Chứng minh BN.BA+CM.CA=BC^2

Giải thích các bước giải:

a. Xét $\Delta HNB$ và $\Delta HMC$ có:

$ \widehat{HNB}=\widehat{HMC}=90^o$ (giả thiết)

$\widehat{NHB}=\widehat{MHC}$ (đối đỉnh)

$\to \Delta HNB\sim\Delta HMC$ (g.g)

b. Xét $\Delta AMB$ và $\Delta ANC$ có:

$\widehat A$ chung

$\widehat{AMB}=\widehat{ANC}=90^o$ (giả thiết)

$\to \Delta AMB\sim\Delta ANC$ (g.g)

$\to \dfrac{AM}{AN}=\dfrac{AB}{AC}$ (hai cạnh tương ứng tỉ lệ)

$\to AM.AC=AN.AB$

c. Ta có: $\Delta MBC\bot M$ có K là trung điểm CB

$\to KM=KB=KC=\dfrac12BC$

Tương tự $\Delta NBC\bot N$ có K là trung điểm BC

$\to KN=KB=KC=\dfrac12BC$

$\to KN=KM$

$\to\Delta KMN$ cân tại K

Mà $E$ là trung điểm MN

$\to KE\perp MN$

d. Gọi $AH\cap BC=D$

Vì $\Delta ABC$ có hai đường cao $BM, CN$ cắt nhau tại $ H$ nên $H$ là trực tâm $\Delta ABC$

$\to AD\perp BC$

Xét $\Delta BDA$ và $\Delta BNC$ có:

$\widehat B$ chung

$\widehat{BDA}=\widehat{BNC}=90^o$

$\to \Delta BDA\sim\Delta BNC$ (g.g)

$\to \dfrac{BD}{BN}=\dfrac{BA}{BC}$ (hai cạnh tương ứng tỉ lệ)

$\to BD.BC=BN.BA$

Tương tự $\Delta CDA\sim\Delta CMB$ (g.g) $\to CM.CA=CD.CB$

$\to BN.BA+CM.CA=BD.BC+CD.CB=BC^2$