Cho phương trình $mx^{2}$ - 2 ( m+1)x + m - 4 =0 a) Xác định m để phương trình có các nghiệm x1,x2 thỏa mãn x1 + 4x2 = 3 b) Tìm hệ thức giữa x1,x2 mà không phụ thuộc vào m

Đáp án:

b. \(2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + {x_1}.{x_2} = 5\) là hệ thức không phụ thuộc vào m

Giải thích các bước giải:

a. Để phương trình có 2 nghiệm phân biệt

\(\begin{array}{l}
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{m^2} + 2m + 1 - m\left( {m - 4} \right) > 0\\
m \ne 0
\end{array} \right.\\
 \to \left\{ \begin{array}{l}
{m^2} + 2m + 1 - {m^2} + 4m > 0\\
m \ne 0
\end{array} \right.\\
 \to \left\{ \begin{array}{l}
6m + 1 > 0\\
m \ne 0
\end{array} \right.\\
 \to \left\{ \begin{array}{l}
m >  - \frac{1}{6}\\
m \ne 0
\end{array} \right.\\
 \to \left[ \begin{array}{l}
x = \frac{{m + 1 + \sqrt {6m + 1} }}{m}\\
x = \frac{{m + 1 - \sqrt {6m + 1} }}{m}
\end{array} \right.\\
Có:{x_1} + 4{x_2} = 3\\
 \to \frac{{m + 1 + \sqrt {6m + 1} }}{m} + 4.\frac{{m + 1 - \sqrt {6m + 1} }}{m} = 3\left( {DK:m \ne 0} \right)\\
 \to \frac{{m + 1 + \sqrt {6m + 1}  + 4m + 4 - 4\sqrt {6m + 1}  - 3m}}{m} = 0\\
 \to 2m + 5 = 3\sqrt {6m + 1} \\
 \to 4{m^2} + 20m + 25 = 9\left( {6m + 1} \right)\\
 \to 4{m^2} - 34m + 16 = 0\\
 \to 4{m^2} - 32m - 2m + 16 = 0\\
 \to 4m\left( {m - 8} \right) - 2\left( {m - 8} \right) = 0\\
 \to \left( {m - 8} \right)\left( {4m - 2} \right) = 0\\
 \to \left[ \begin{array}{l}
m = 8\\
m = \frac{1}{2}
\end{array} \right.\left( {TM} \right)\\
b.Vi - et:\left\{ \begin{array}{l}
{x_1} + {x_2} = \frac{{2m + 2}}{m}\\
{x_1}.{x_2} = \frac{{m - 4}}{m}
\end{array} \right.\\
 \to 2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + {x_1}.{x_2} = \frac{{4m + 4}}{m} + \frac{{m - 4}}{m}\\
 = \frac{{5m}}{m} = 5
\end{array}\)

KL: \(2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + {x_1}.{x_2} = 5\) là hệ thức không phụ thuộc vào m