Câu `3:`

`***` Nếu tích hợp ánh cạ `f @ g` là đơn ánh thì `g` là đơn ánh còn `f` chưa chắc là đơn ánh.

`***` Chứng minh:

`-` Chứng minh `g` là đơn ánh:

Giả sử tồn tại `1` phần tử `x_1,x_2 in A` sao cho `g(x_1)=g(x_2)`

Tác dụng ánh xạ `f` lên `2` vế, đc: `f(g(x_1))=f(g(x_2))`

Viết dưới dạng hợp thành ánh xạ: `(f @ g)(x_1)=(f @ g)(x_2)`

Do `f@g` là đơn ánh nên theo định nghĩa đơn ánh `=>x_1=x_2`

`=> g` thực sự là đơn ánh.

`-` Phản ví dụ chứng minh `f` không nhất thiết là đơn ánh:

Cho `A={1}, B={1,2}, C={1}`

Ta có:

`g: AtoB` xác định bởi `g(1)=1`

`f:BtoC` xác định bởi `f(1)=1; f(2)=1`

Do `f(1)=f(2)=1` mà `1 ne 2` nên `f` không phải là đơn ánh.

Mà `(f @ g)(1)=f(g(1))=f(1)=1` hay `f @g` là đơn ánh từ `A` vào `C`

`-> f` không bắt buộc phải là đơn ánh.