Đáp án:

 

Giải thích các bước giải:

`a)`

Vì `ABCD` là hình bình hành và `O` là giao điểm của hai đường chéo `AC` và `BD` nên `O` là trung điểm của `AC` (tính chất hình bình hành)

`=> OA = OC`

Xét `ΔAIO` và `ΔCNO` có:

`hat(IAO) = hat(NCO)` (hai góc so le trong do `AD //// BC`)

`OA = OC` (cmt)

`hat(AOI) = hat(CON)` (đối đỉnh)

`=> ΔAIO = ΔCNO (g.c.g)` (đpcm)

`b)`

Vì `ΔAIO = ΔCNO` (cmt) nên `AI = CN` (hai cạnh tương ứng)

Mà `CN = 1/3 BC` (gt) và `BC = AD` (tính chất hình bình hành)

`=> AI = 1/3 AD`

Ta có `BN = BC - CN = BC - 1/3 BC = 2/3 BC`

Vì `M` là trung điểm của `BN` (gt) nên `BM = 1/2 BN = 1/2 . 2/3 BC = 1/3 BC = 1/3 AD`

`=> AI = BM`

Xét tứ giác `ABMI` có:

`AI //// BM` (do `AD //// BC`)

`AI = BM` (cmt)

`=> ABMI` là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết)

`=> AM //// BI` (tính chất hình bình hành)

Ta có `DI = AD - AI = AD - 1/3 AD = 2/3 AD`

Mà `BN = 2/3 BC` và `AD = BC` nên `DI = BN`

Xét tứ giác `BNDI` có:

`DI //// BN` (do `AD //// BC`)

`DI = BN` (cmt)

`=> BNDI` là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết)

`=> BI //// ND`

hay `BI //// NK`

Mà `AM //// BI` (cmt) nên `AM //// NK`

Xét `ΔKBN` có:

`M` là trung điểm của `BN` (gt)

`MA //// NK` (cmt, `A in KB`)

`=> A` là trung điểm của `KB` và `AM` là đường trung bình của `ΔKBN` (định lý đường trung bình của tam giác)

`=> AM = (NK)/2` (tính chất đường trung bình) (đpcm)