Đáp án:

$m+n=51$.

Giải thích các bước giải:

Gọi $H$ là giao điểm của $CD$ và $EF$

$I$ là giao điểm của $AB$ và $EF$.

$\Delta ADE$ đều $\Rightarrow\widehat{EAD}=60^\circ$

$\widehat{IAE}=90^\circ-\widehat{EAD}=90^\circ-60^\circ=30^\circ$

Dễ thấy $\Delta ADH=\Delta AEH$ (cạnh huyền-cạnh góc vuông)

$\Rightarrow\widehat{DAH}=\widehat{EAH}=\dfrac{\widehat{DAE}}2$

$\Rightarrow\widehat{EAH}=\dfrac{60^\circ}2=30^\circ$

Có $\widehat{DAH}=\widehat{IAE}$, có hai góc vuông và chung $AE=AD$ ($\Delta ADE$ đều)

$\Rightarrow\Delta AHD=\Delta AIE$ (cạnh huyền-góc nhọn)

$\Rightarrow S_{\Delta AHD}=S_{\Delta AIE}$

$\Rightarrow S_{\rm chung}=S_{\Delta AIE}+S_{\Delta AHE}$

$\Rightarrow S_{\rm chung}=S_{\Delta AHI}$.

Gọi $2a$ là cạnh $AH$ của $\Delta AHI$ đều (chứng minh)

Do $\Delta AHI$ đều, $AE\,\bot\,HI\Rightarrow E$ là trung điểm của $HI$

$\Rightarrow HE=\dfrac12.2a=a$

Pythagoras: $AE^2=AH^2-HE^2$

$\Rightarrow 12^2=(2a)^2-a^2=3a^2$

$\Rightarrow a\sqrt3=12\Rightarrow a=4\sqrt3$

$S_{\rm chung}=\dfrac12.AE.HI=\dfrac12.AE.2a=a.AE$

$\Rightarrow S_{\rm chung}=4\sqrt3.12=48\sqrt3=m\sqrt n$.

Do $3$ không thể chia hết cho số chính phương nguyên tố nào nên $n=3,m=48$

$\Rightarrow m+n=51$.