Bài 5.

`1)`

Xét `Delta DEF` vuông tại `D`, ta có:

`DA` là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền `EF`

`=>DA=(EF)/2=AF`

`=>Delta DAF` cân tại `A`

Ta có: `hat{BDC}=90^o`

`AC bot DF =>hat{ACD}=90^o`

Xét `Delta DEF`, ta có:

`B` là trung điểm của `DE`

`A` là trung điểm của `EF`

`=>AB` là đường trung bình của `Delta DEF`

`=>AB //// DF`

Mà `DE bot DF=>AB bot DE`

`=>hat{ABD}=90^o`

Xét tứ giác `DBAC`, ta có:

`hat{BDC}=90^o`

`hat{ACD}=90^o`

`hat{ABD}=90^o`

`=>DBAC` là hình chữ nhật

`2)`

Vì `M` đối xứng với `A` qua `C`

`=>C` là trung điểm của `AM` và `AM bot DF` tại `C`

Xét `Delta DAF` cân tại `A`, ta có:

`AC` là đường cao ứng với cạnh đáy `DF`

`=>AC` đồng thời là đường trung tuyến của `Delta DAF`

`=>C` là trung điểm của `DF`

Xét tứ giác `DAMF`, ta có:

Hai đường chéo `AM` và `DF` cắt nhau tại trung điểm `C` của mỗi đường

`=>DAMF` là hình bình hành

Mà `AM bot DF` tại `C`

`=>DAMF` là hình thoi

`3)`

Vì `DAMF` là hình thoi

`=>DM //// AF` và `DM=AF`

Vì `N` đối xứng với `A` qua `B`

`=>B` là trung điểm của `AN`

Xét tứ giác `ADNE`, ta có:

`B` là trung điểm của `AN`

`B` là trung điểm của `DE`

`=>ADNE` là hình bình hành

`=>DN //// AE` và `DN=AE`

Mà `A` là trung điểm của `EF`

`=>A, E, F` thẳng hàng và `AE=AF`

`=>DM //// EF` và `DN //// EF`

Theo tiên đề Euclid qua điểm `D` chỉ có một đường thẳng song song với `EF`

`=>M, D, N` thẳng hàng

`4)`

Gọi `I` là giao điểm của `DA` và `BC`

Vì `DBAC` là hình chữ nhật

`=>I` là trung điểm của `DA` và `BC`, và `DA=BC`

Ta có: `DH bot EF` tại `H`

Mà `A in EF =>DH bot HA` tại `H`

Xét `Delta DHA` vuông tại `H`, ta có:

`HI` là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền `DA`

`=>HI=(DA)/2`
Mà `DA=BC=>HI=(BC)/2`

Xét `Delta BHC`, ta có:

`HI` là đường trung tuyến ứng với cạnh `BC`
Mà `HI=(BC)/2`

`=>Delta BHC` vuông tại `H`

`=>hat{BHC}=90^o`