Đáp án $+$ Giải thích các bước giải:

Phương trình: \(2(x^2 + 2) = 5\sqrt{x^3 + 1}\)
Điều kiện xác định:
\(x^3 + 1 \geq 0 \iff (x+1)(x^2 - x + 1) \geq 0 \iff x \geq -1\) (vì \(x^2 - x + 1 > 0\) với mọi \(x\))
\(2(x^2 + 2) = 2(x^2 - x + 1) + 2(x + 1)\)
\(2(x^2 - x + 1) + 2(x + 1) = 5\sqrt{(x + 1)(x^2 - x + 1)}\)

Đặt \(a = \sqrt{x^2 - x + 1}\) (\(a > 0\)) và \(b = \sqrt{x + 1}\) (\(b \geq 0\)).

Phương trình trở thành:
\(2a^2 + 2b^2 = 5ab\)
\(\iff 2a^2 - 5ab + 2b^2 = 0\)
\(\iff (2a - b)(a - 2b) = 0\)

Trường hợp 1: \(2a = b\)
\(\iff 2\sqrt{x^2 - x + 1} = \sqrt{x + 1}\)
\(\iff 4(x^2 - x + 1) = x + 1\)
\(\iff 4x^2 - 5x + 3 = 0\)
Phương trình này vô nghiệm do \(\Delta = (-5)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 3 = -23 < 0\).

Trường hợp 2: \(a = 2b\)
\(\iff \sqrt{x^2 - x + 1} = 2\sqrt{x + 1}\)
\(\iff x^2 - x + 1 = 4(x + 1)\)
\(\iff x^2 - 5x - 3 = 0\)
Giải phương trình bậc hai ta được: \(x = \dfrac{5 \pm \sqrt{37}}{2}\)

Vậy \(x = \dfrac{5 \pm \sqrt{37}}{2}\) là nghiệm của phương trình.