Đáp án $+$ Giải thích các bước giải:

Xét bài toán trên trường số dư \(\mathbb{Z}_{p}\). Giả sử phản chứng phương trình vô nghiệm.

Khi đó, với mọi bộ \((x_1, x_2, \dots, x_d) \in \mathbb{Z}_p^d\)

 Theo Định lý Fermat nhỏ ta luôn có:
\(\left(x_{1}^{d}+x_{2}^{d}+\dots +x_{d}^{d}-n\right)^{p-1}\equiv 1\mathinner{\;\left(\mod \,p\right)}\)

Xét đa thức trên \(\mathbb{Z}_{p}\):
\(P(x_{1},x_{2},\dots ,x_{d})=\left(x_{1}^{d}+x_{2}^{d}+\dots +x_{d}^{d}-n\right)^{p-1}-1\)
Suy ra \(P(x_1, x_2, \dots, x_d) = 0\) với mọi điểm thuộc lưới \(\mathbb{Z}_{p}^{d}\).

Ta có \(\deg(P) = d(p-1)\).

Hệ số của đơn thức tối cao \(x_1^{p-1}x_2^{p-1}\dots x_d^{p-1}\) trong khai triển của \(P\) là:
\(\frac{(p-1)!}{(1!)^{d}\cdot 0!}=(p-1)!\equiv -1\ne 0\mathinner{\;\left(\mod \,p\right)}\quad \text{(Theo Định lý Wilson)}\)

Chọn các tập hợp điểm \(S_1 = S_2 = \dots = S_d = \mathbb{Z}_p\) có kích thước \(\vert S_i \vert = p > p-1\). Theo Định lý không điểm tổ hợp, phải tồn tại bộ điểm \((s_1, s_2, \dots, s_d) \in \mathbb{Z}_p^d\) sao cho:
\(P(s_{1},s_{2},\dots ,s_{d})\ne 0\)

Điều này mâu thuẫn với kết luận \(P = 0\) trên toàn bộ \(\mathbb{Z}_{p}^{d}\).

Giả sử phản chứng sai ta được điều phải chứng minh.