Đáp án $+$ Giải thích các bước giải:

$1)$ Tính giá trị của biểu thức $P$ khi $x = 4$

Thay $x = 4$ (thỏa mãn điều kiện $x > 0, x \neq 9$) vào biểu thức $P$, ta được:

$P=\dfrac{2\sqrt{4}-9}{3\sqrt{4}}=\dfrac{2\cdot 2-9}{3\cdot 2}=\dfrac{4-9}{6}=-\dfrac{5}{6}$

Vâyh khi $x = 4$, giá trị của biểu thức $P = -\dfrac{5}{6}$.

$---------$

$2)$ Rút gọn biểu thức $Q$

Với $x > 0, x \neq 9$ thì:

$Q=\dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-3}+\dfrac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x}+3}+\dfrac{7\sqrt{x}+3}{9-x}$

$Q=\dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-3}+\dfrac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x}+3}-\dfrac{7\sqrt{x}+3}{(\sqrt{x}-3)(\sqrt{x}+3)}$

$Q=\dfrac{(\sqrt{x}+1)(\sqrt{x}+3)+2\sqrt{x}(\sqrt{x}-3)-(7\sqrt{x}+3)}{(\sqrt{x}-3)(\sqrt{x}+3)}$

$Q=\dfrac{x+4\sqrt{x}+3+2x-6\sqrt{x}-7\sqrt{x}-3}{(\sqrt{x}-3)(\sqrt{x}+3)}$

$Q=\dfrac{3x-9\sqrt{x}}{(\sqrt{x}-3)(\sqrt{x}+3)}$

$Q=\dfrac{3\sqrt{x}(\sqrt{x}-3)}{(\sqrt{x}-3)(\sqrt{x}+3)}=\dfrac{3\sqrt{x}}{\sqrt{x}+3}$

Với $x > 0, x \neq 9$, biểu thức rút gọn là $Q = \dfrac{3\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 3}$.

$--------$

$3)$ Tìm $x$ để $Q = \dfrac{3}{7}$

Với $x > 0, x \neq 9$, ta có:

$Q=\dfrac{3}{7}\Leftrightarrow \dfrac{3\sqrt{x}}{\sqrt{x}+3}=\dfrac{3}{7}$

$21\sqrt{x}=3(\sqrt{x}+3)$

$7\sqrt{x}=\sqrt{x}+3$

$6\sqrt{x}=3\Leftrightarrow \sqrt{x}=\dfrac{1}{2}$

$x=\dfrac{1}{4}\quad (\text{thỏa mãn điều kiện }x>0,x\ne 9)$

Vậy giá trị cần tìm là $x = \dfrac{1}{4}$.

$-------$

$d)$ Tìm $x$ để $Q = -\dfrac{36}{25}P$

Với $x > 0, x \neq 9$, thay biểu thức $P$ và $Q$ đã rút gọn vào phương trình:

$\dfrac{3\sqrt{x}}{\sqrt{x}+3}=-\dfrac{36}{25}\cdot \dfrac{2\sqrt{x}-9}{3\sqrt{x}}$

$\dfrac{3\sqrt{x}}{\sqrt{x}+3}=\dfrac{-12(2\sqrt{x}-9)}{25\sqrt{x}}$

$75x=-12(2\sqrt{x}-9)(\sqrt{x}+3)$

$25x=-4(2x+6\sqrt{x}-9\sqrt{x}-27)$

$25x=-4(2x-3\sqrt{x}-27)$

$25x=-8x+12\sqrt{x}+108$

$33x-12\sqrt{x}-108=0$

$11x-4\sqrt{x}-36=0$

$11x-22\sqrt{x}+18\sqrt{x}-36=0$

$11\sqrt{x}(\sqrt{x}-2)+18(\sqrt{x}-2)=0$

$(\sqrt{x}-2)(11\sqrt{x}+18)=0$

Vì $x > 0$ nên $11\sqrt{x} + 18 > 0$, suy ra:

$\sqrt{x}-2=0\Leftrightarrow \sqrt{x}=2\Leftrightarrow x=4\quad (\text{thỏa mãn điều kiện }x>0,x\ne 9)$

Vậy giá trị cần tìm là $x = 4$.