Bài 1:

`a)`

Xét `Delta ABD` có `hat(ABD)=90^@` (do `Bx bot AB`)

`=>Delta ABD` vuông tại `B=>A,B,D` thuộc đường tròn đường kính `AD` `(1)`

Xét `Delta ACD` có `hat(ACD)=90^@` (do `Cy bot AC`)

`=>Delta ACD` vuông tại `C=>A,C,D` thuộc đường tròn đường kính `AD` `(2)`

Từ `(1)` và `(2)` `=>4` điểm `A,B,C,D` cùng thuộc đường tròn đường kính `AD`

`b)`

Xét `Delta AHE` và `Delta BKE` có:

`hat(AHE)=hat(BKE)=90^@`

`hat(AEH)=hat(BEK)` (đối đỉnh)

`=>Delta AHE`  $\backsim$ `Delta BKE` (g.g)

`=>(AE)/(BE)=(HE)/(KE)=>AE*EK=HE*EB`

Từ `(AE)/(BE)=(HE)/(KE)=>(EK)/(EB)=(HE)/(AE)`

Xét `Delta EKH` và `Delta EBA` có:

`(EK)/(EB)=(HE)/(AE)`

`hat(KEH)=hat(BEA)` (đối đỉnh)

`=>Delta EKH`  $\backsim$ `Delta EBA` (c.g.c)

`=>hat(EHK)=hat(EAB)` hay `hat(KHB)=hat(DAB)`

Trong `Delta ABD` vuông tại `B` có `BK bot AD`:

`hat(DBK)=hat(DAB)` (cùng phụ góc ADB)

`=>hat(KHB)=hat(DBK)`

`c)`
`Delta AHB` vuông tại `H` có trung tuyến `HI=>HI=1/2AB=IA=IB`

`Delta AKB` vuông tại `K` có trung tuyến `KI=>KI=1/2AB=IA=IB`

`=>IH=IK=>Delta IHK` cân tại `I`
Kẻ `IP bot HK(P in HK)=>P` là trung điểm `HK=>PK=(HK)/2`
`Delta IPK` vuông tại `P=>sin hat(PIK)=(PK)/(IK)=(HK)/(2IK)`

`Delta IAH` cân tại `I=>hat(BIH)=2hat(BAH)`

`Delta IAK` cân tại `I=>hat(BIK)=2hat(BAD)`

`=>hat(BIH)+hat(BIK)=2(hat(BAH)+hat(BAD))`

`IM` là đường trung bình của `Delta ABC=>IM////AC=>hat(BIM)=hat(BAC)`

`Delta ABH` vuông tại `H=>hat(BAH)=90^@-hat(ABC)`

`Delta ACD` vuông tại `C=>hat(CAD)=90^@-hat(ADC)`

Mà `hat(ABC)=hat(ADC)` (cùng chắn cung AC)

`=>hat(BAH)=hat(CAD)`

`=>hat(BAH)+hat(BAD)=hat(CAD)+hat(BAD)=hat(BAC)`

`=>hat(BIH)+hat(BIK)=2hat(BAC)=2hat(BIM)`
`=>IM` là phân giác `hat(HIK)=>hat(MIK)=hat(PIK)=(hat(HIK))/2`
`=>sin hat(MIK)=(HK)/(2IK)=>2sin hat(MIK)=(HK)/(IK)`