Ta có:

$P = ab + bc + cd + da = (a + c)(b + d)$

Mà $a + b + c + d = 0 ⇒ b + d = -(a + c)$

$⇒P = -(a + c)^2$

Vì $(a + c)^2 \ge 0$ với mọi $a, c$ nên:

$P = -(a + c)^2 \le 0$

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $a + c = 0 ⇒ b + d = 0$

$⇒ Max(P) = 0$

Ta có:

$(a + c)^2 \le 2(a^2 + c^2)$

$(b + d)^2 \le 2(b^2 + d^2)$

$⇔(a + c)^2 + (b + d)^2 \le 2(a^2 + b^2 + c^2 + d^2) = 2 \cdot 1 = 2$

Vì $b + d = -(a + c)$ nên $(b + d)^2 = (a + c)^2$

$⇒2(a + c)^2 \le 2 ⇔ (a + c)^2 \le 1$

$⇒P = -(a + c)^2 \ge -1$

Dấu "=" xảy ra khi $a = c$ và $b = d$

$⇒ Min(P) = -1$

Vậy $Max( P) = 0$ | $Min (P) = -1$

@tuan789