Theo đề bài ta có chiều cao,chiều dài,chiều rộng của hình hộp chữ nhật lần lượt là h,x và y(dm;h,x,y>0)

Tỉ số giữa chiều cao h và chiều rộng y bằng 4 nên ta có:

                             $\frac{h}{y}$=4 ⇔  h=4y

Thể tích của hình hộp chữ nhật này là 3 dm³ nên ta có:

                             V=h.x.y=3 (dm³) 

Thế h=4y vào biểu thức trên ta có:

                               x.4y²= 3 ⇔ x=$\frac{3}{4y^{2}}$ (*)

Do chiếc hộp không cần nắp nên diện tích bìa cần dùng là tổng diện tích xung quanh và đáy của hình hộp chữ nhật:

                  S=xy+2h(x+y)=$\frac{3}{4y^{2}}$y+2.4y($\frac{3}{4y^{2}}$+y)

                    =$\frac{3}{4y}$+$\frac{6}{y}$+$8y^{2}$=$\frac{27}{4y}$+$8y^{2}$

                    =$\frac{27}{8y}$+$\frac{27}{8y}$+$8y^{2}$ 

Vì y>0 nên ta áp dụng BĐT Cauchy cho cả 3 số đều không âm ta có:

        $\frac{27}{8y}$+$\frac{27}{8y}$+$8y^{2}$$\geq$ 3$\sqrt[3]{\frac{27}{8y}.\frac{27}{8y}.8y^{2}}$

Suy ra S$\geq$ $\frac{27}{2}$

Dấu "=" xảy ra khi $\frac{27}{8y}$=$8y^{2}$ ⇔ y=$\frac{3}{4}$ (dm)

Thế vào (*) ta có:

        x=$\frac{3}{4.(\frac{3}{4})^{2}}$=$\frac{4}{3}$ (dm)

Vậy lượng bìa cần dùng ít nhất là $\frac{27}{2}$ dm² khi chiều dài x là $\frac{4}{3}$ dm.