`a)` 

Xét tứ giác ADME có : 

`hat{DAE} = 90` độ ( tam giác ABD vuông góc tại hat{A} )

`hat{ADM} = 90` độ ( MD ⊥ AB)

`hat{EMD} = 90` độ (ME ⊥ AC) 

`->` Tứ giác ADME là hình chữ nhật (đpcm)

`b)` 

Ta có : MD ⊥ AB (gth)

            AC ⊥ AB (gth)

`->` MD // AC 

Lại có M là trung điểm BC 

`->` D là trung điểm AB ( t/c đường trung bình )

Xét tứ giác ABMK có AB và MK cắt nhau tại D.

Mà D là tđ BC , D là tđ MK ( D là hình chiếu của M )

`->` tứ giác ABMK là hình bình hành

Mặt khác : MK ⊥ AB ( vì K là hình chiếu của MD nên MK ⊥ AB)

`=>` tứ giác ABMK là hình thoi

`c)` 

`+) Để hình chữ nhật ADME là hình vuông thì : AE = AD

Mà AD = `1/2` AB `(1)` 

`+)` Lại có ME ⊥ AC (gth) 

                  AB ⊥ AC (gth)

`-> ME // AB` mà M là tđ BC `->` E là trung điểm AC 

`->` AE = `1/2` AC `(2)`

Từ (1) và (2) suy ra : 

để AD = AE thì `1/2 AB = 1/2 AC` 

`=> AB = AC` 

`=>` Để hình chữ nhật ADME là hình vuông thì Δ ABC cân vuông tại A