Giải thích các bước giải:

$C = x^{2} + 5y^{2} - 4xy + 2y + 10$

$= (x^{2} - 4xy + 4y^{2}) + (y^{2} + 2y + 1) + 9$

$= (x - 2y)^{2} + (y + 1)^{2} + 9$

Vì $(x - 2y)^{2} \geq 0$ với mọi $x,y$ và $(y + 1)^{2} \geq 0$ với mọi $y$

Khi đó giá trị của biểu thức là $C = 9$

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi: $\begin{cases} x - 2y = 0 \\ y + 1 = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x = 2y \\ y = -1 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x = -2 \\ y = -1 \end{cases}$

Vậy giá trị nhỏ nhất của $C$ là $9$ tại $x = -2$ và $y = -1$